נושאים באתר

צוות האתר

צוות האתר

"אתולוגיקה" – קוביות והימורים

מאמר תגובה מאת יאיר ח', בהתייחסות לבלוג אתולוגיקה (עידו חדי):

(זה הוא חלק ראשון, קרא כאן את החלק השני).

במאמר זה ארצה לחדד כמה היבטים בראיה הפיסיקו - תיאולוגית.
המאמר בנוי כקומה נוספת על גב הראיה כפי שהציג אותה הרב מיכאל אברהם, במחברת השלישית שלו (העתידה לצאת לאור כספר), ומחדדים אותה מכמה כיוונים קריטיים, לדעתי.
לאחר מאמר זה יבואו מאמרים נוספים, שירחיבו ויסבירו את הדברים.

המאמר הנוכחי בעצם מהווה מאמר תגובה למאמרו של עידו חדי, השביעי בסדרת: "אברהם משחק בטעויות" הנקרא: "העיקרון האנתרופי, צעדים ראשונים". מומלץ לקרוא את מאמרו של עידו קודם קריאת מאמר זה. דרך מאמר זה נניח את היסודות למאמר הבא שם כבר נגיע לראיה הפיסיקו –  תיאולוגית עצמה.

ב. מאמרו של עידו

מאמרו של עידו דן ביכולתנו להסיק מסקנות ממאורעות מיוחדים ונדירים בעולמנו, ולוקה בכמה וכמה טעויות וכשלים חמורים מאוד.
אריכות הדברים נובעת מהרצון לחדד דברים מסוימים בצורה מפורטת, עקב כך שראיתי רבים וטובים שטועים בהבנתם.
בנוסף, רציתי לבקר את מאמרו של עידו מכל הצדדים בפירוט רב, כדי שהדברים יובנו היטב, מה שימנע דיונים מיותרים ובלתי נגמרים.

נביא את לשון הרב אברהם בספרו 'אלוהים משחק בקוביות', אליה מתייחס עידו:

"
נניח שאנחנו צופים בקובייה שנופלת פעם אחר פעם על הספרה 6. לאחר כשלושים פעמים שבכולן התקבלה הספרה 6, נחפש, מן הסתם, את הסיבה לכך. לעומת זאת, התשובה של דוקינס וחבריו לתהייה זו ככל הנראה תהיה: אם זה לא היה קורה, לא היינו שואלים זאת. האם זו תשובה סבירה? הטענה שבלי התקיימות התנאים הנחוצים לא הייתי כאן אינה מסבירה מאומה. השאלה מדוע אני כאן לאחר שנוצרו תנאים כאלה היא השאלה שבה אנחנו עוסקים".

תגובת עידו לפסקה זו היא:

"יש תשובה אחרת לדוגמא הזאת שחושפת עד כמה עמוקה אי-ההבנה של אברהם בנושאים עליהם הוא מתיימר לכתוב. במקרה הזה, הסתברות והשימוש בה.

כדי להבין למה, ניזכר בעובדה על קוביה הוגנת. ההסתברות של כל תוצאה של קוביה הוגנת היא זהה, 1 מתוך 6. לכן, גם ההסתברות של כל תוצאה של שלושים הטלות רצופות זהה, בערך 1 מתוך 23^10. לא משנה מהו רצף המספרים שנקבל בהטלה של קוביה הוגנת 30 פעמים, ההסתברות לקבל אותו זעירה. אם נקבל שלושים פעם 6, ההסתברות לקבל אותו היא בערך 1 מ-23^10. הערך האסתטי שאנחנו מייחסים לו לא משנה את זה. אם נקבל 263,543,343,441,356,326,565,611,416,654, ההסתברות לקבל אותו זהה לחלוטין, בערך 1 מ-23^10. העובדה שאין לו ערך אסתטי עבורנו לא משנה זאת.

הנה השורה התחתונה. כל תוצאה של שלושים הטלות קוביה הוגנת היא תוצאה שההסתברות שלה נמוכה, לא משנה אם היא מענגת אסתטית עבורנו או לא. במאה אחוז מהתוצאות של שלושים הטלות קוביה הוגנת, נקבל רצף שההסתברות שנקבל אותו היא זעירה. לא משנה מה תהיה התוצאה בשלושים הטלות קוביה הוגנת, בוודאות נקבל רצף כלשהו שההסתברות לקבל אותו היא זעירה. בכוונה חזרתי על אותו רעיון במילים שונות, כי הוא דורש הדגשה. יותר מזה, אנחנו יודעים את זה מראש, לפני שבכלל נתחיל להטיל את הקוביה. לכן, למה שתוצאה כמו שלושים פעמים 6 תיראה לנו כמו הפתעה הסתברותית? היא סבירה לא פחות ולא יותר מכל תוצאה אחרת, ומפתיעה לא פחות ולא יותר מכל תוצאה אחרת".

חשוב להדגיש שטיעונו של עידו תקף בעיניו גם אם היה מדובר במספר הטלות שונה (ולפי ההגדרה שלו, אפילו מיליון), כפי שהוא אומר באחת התגובות: "אני מסכים איתך לחלוטין ש-30 הוא מספר שרירותי... בחרתי אותו בגלל שמיכאל אברהם בחר בו".

ג. הסברו של עידו

מה דעתו של עידו עצמו בעניין?:
איך תראה דוגמא בה יש שיקול הסתברותי לחפש להסבר לתוצאה לא סבירה? דמיינו שהקוביה מוטלת שלושים פעם במסגרת הימור בקזינו. מהמר כבד במיוחד הימר שבהטלת הקוביה יתקבל שלושים פעם 6 והקזינו מהמר שלא. ההסתברות שהקזינו יזכה היא כמעט וודאית וההסתברות שהמהמר יזכה היא אפסית, בערך 1 מתוך 23^10. הבית תמיד מנצח, אבל לא כאן. הקוביה הניבה רצף של שלושים פעמים 6.

 

מה ההבדל בין הדוגמא הזאת לדוגמא של אברהם? בדוגמא הזאת, הקזינו והמהמר עשו משהו מאד חשוב לפני שתוצאות ההטלה היו ידועות. הם חילקו את התוצאות האפשריות של ההטלה לשתי קבוצות. האחת מכילה את הרצף שבחר המהמר, שלושים פעמים 6. השניה מכילה את כל שאר התוצאות האפשריות של שלושים הטלות קוביה. במעשה זה, הם סימנו את הרצף שלושים פעמים 6 כרצף מיוחד. לכן, במצב הזה העובדה ששלושים הטלות קוביה בוודאות יניבו רצף לא סביר כלשהו היא לא עובדה רלוונטית. מראש, אנחנו מעוניינים בהסתברות שיתקבל הרצף המסוים שבחר המהמר, וההסתברות הזאת נמוכה מאד. העובדה שהקוביה הניבה את הרצף הזה למרות ההסתברות הזעומה שלו היא הפתעה הסתברותית עצומה.

כלומר, כל עוד לא עלתה במוחו של מטיל הקובייה האפשרות שהיא איננה הוגנת, הרצף המיוחד (ויהיה זה אפילו מיליון פעמים 6), הוא חסר כל משמעות, אם כי, כפי שמודה עידו, הוא "מענג אסתטית".

ד. הקדמה לדיון

כשסיימתי לקרוא את מאמרו תהיתי לעצמי: במידה ונקרא לעידו, ונציג בפניו סרטון שצולם כמה דקות קודם לכן, ובו מתועדת קובייה שנופלת מיליון פעמים ברצף על 6 (ואלו ההטלות היחידות שנעשו עמה), ואיש לא היה בחדר בזמן ההטלה (כך שאף אחד לא העלה על דעתו את האפשרות שהיא אינה הוגנת), ונכריח אותו להמר על תוצאת ההטלה הבאה, באופן הבא: אם הוא בוחר אחד מהמספרים: 1,2,3,4,5 הוא רשאי לבחור מספר שני, כך שסיכוי זכייתו הוא 1/3, אך אם יבחר במספר 6 לא תהיה לו הזכות לבחור במספר נוסף, ויאלץ להישאר עם סיכוי של 1/6, חצי מהסיכוי באפשרות האחרת, במה יבחר עידו?
לי אישית ברור שהוא היה בוחר ב-6, ולא בשני מספרים אחרים (אל תשכחו שהקובייה נפלה מיליון פעם על המספר 6, וכל חטאה הוא שאיש לא היה בחדר ולא יכול היה להעלות על דעתו, טרם יסתיימו כל ההטלות, שהיא אינה הוגנת), מה שכמובן נוגד לחלוטין את המסקנה שעולה ממאמרו.

האם זו לא ספקולציה בעלמא? מדוע אני מציין זאת? מפני שלדעתי עידו זנח בקלות רבה מדיי את האינטואיציה החזקה כל כך לומר שכנראה לא מדובר בסתם צירוף מקרים מהמם בו קובייה הוגנת נופלת המון פעמים רק על 6, כנראה היא אינה הוגנת.
ואכן, בהמשך המאמר הוא כותב:"יכול להיות שמי שקרא את ההסבר שלי עדיין "מרגיש", עמוק באינטואיציות שלו, שיש משהו בדוגמא של אברהם. לא נורא. אני מזדהה איתכם. לקח לי בעצמי הרבה זמן להתרגל לחשיבה הסתברותית".
בדומה לכך, אחד המגיבים כותב לו: "כמובן שאתה צודק מבחינה הסתברותית, אבל אני חייב להודות שהתחושת-בטן שלי עדיין מציקה לי".

כל עוד לא מוצאים ראיות טובות כנגד אינטואיציה חזקה מאוד, לא סביר לנטוש אותה, וגם אם כן, אז רק אחרי מאמץ אדיר למצוא את מקורה שעלה בתוהו. במאמרו אין שום ראיה נגד האינטואיציה הזו, אלא רק ציון העובדה הפשוטה והברורה שהסיכוי לקבל רצף "מענג אסתטית", כלשונו, שווה בדיוק לסיכוי לקבל כל אחד משאר הרצפים. כשנגיע לסוף המאמר, נראה שלחרפה תיחשב לו אמירתו: "אברהם...צריך לרענן את ידיעותיו בהסתברות וסטטיסטיקה".

ה. פתיחת הדיון –  בין סטטיסטיקה למיסטיקה

כשקראתי את דוגמת הקזינו של עידו, פשוט נדהמתי. האם עידו חדי, האתאיסט ה"רציונלי", הוא מיסטיקן? כיצד, לכל הרוחות, העובדה שההימור היה על 6, גורמת לכך שכעת כבר מדובר ב"הפתעה הסתברותית עצומה"? (יש לזכור ש'הפתעה' כאן פירושה שיש להסיק מסקנה על הקובייה, ולא סתם הנאה אסתטית חסרת ערך מסקנתי שקיימת גם ללא 'סימון').
כדי להבין את תדהמתי, חשוב לזכור שעידו לא רואה בהימור על הכסף ובאינטרס שיש למהמר לקבל דווקא את הרצף הנ"ל, את התנאי ליכולתנו להסיק מסקנה מהרצף הנדיר (כלומר, שהאינטרס מסמן את המהמר כעבריין זיוף קוביות פוטנציאלי),שהרי הוא עצמו מסביר בהמשך שהמאפשר את הפליאה הוא ה"סימון": "עם ההסבר הזה ביד, אשכלל את הדוגמא של אברהם. אתקן אותה כך שיעשה בה שימוש תקף בשיקולי הסתברות. נניח כמוהו שאנחנו צופים בהטלת קוביה ורואים רצף של שלושים פעמים 6. אם הקוביה הוגנת, התוצאה הזאת לא מיוחדת יותר מכל תוצאה אחרת, ולכן עכשיו אנחנו לא יכולים להסיק שמשהו לא בסדר בקוביה הזאת. בנקודה הזאת, אנחנו מעלים את ההשערה שהקוביה אינה הוגנת ובנויה כך שהיא תיפול תמיד על 6. בזאת עשינו משהו דומה למה שעשו המהמר והקזינו – סימנו רצף אפשרי מסוים כרצף מיוחד.

 

כעת, אנחנו מטילים את הקוביה עוד 30 פעמים ומקבלים שלושים פעמים 6. בדיוק כמו בדוגמת המהמר והקזינו, זה לא רלוונטי בכלל ששלושים הטלות קוביה הוגנת בוודאות יניבו רצף לא סביר כלשהו. מראש, אנחנו מעוניינים בהסתברות שיתקבל הרצף שצפוי לפי ההשערה שלנו, 30 פעמים 6. התוצאות של 30 ההטלות הללו הם מבחן הסתברותי טוב להשערה שלנו. 30 פעמים 6 היא תוצאה מאד לא סבירה בהינתן שהקוביה הוגנת ומאד סבירה בהינתן שהשערה שלנו נכונה. לכן, אם נקבל בניסוי הזה 30 פעמים 6, יש לנו את כל הלגיטימציה ההסתברותית שבעולם לחשוב שהקוביה אינה הוגנת ולחפש את הטריק שמאחוריה".

כעת אשאל שוב: כיצד, לכל הרוחות, משפיעה העובדה שהאדם העלה על דעתו את האפשרות שהקובייה איננה הוגנת, על השאלה האם היא הוגנת או לא? כיצד יכולה בכלל מחשבתו של המטיל לגרום לכך שכעת ניתן להסיק מסקנה ממאורע כלשהו, כאשר מאורע זה קורה ללא שום תלות במחשבתו של המטיל?
אם אירוע של 30 הטלות שנותנות 6 אינו אירוע שניתן להסיק ממנו על אי ההוגנות של הקובייה, כיצד צירוף העובדה שהמטיל העלה על דעתו, בתחילת ההטלות השניות, שהיא אינה הוגנת, נותן להטלות אלו יכולת להוכיח שבאמת מדובר בקובייה שאיננה הוגנת?
לולא שהמאמר נראה כמייצג את דעת הכותב, הייתי בטוח שמדובר בבדיחה. והיא ממש גרועה.

אם כן, בעולם המופלא של עידו, בכוחן של מחשבות אנושיות להשפיע על המציאות, ועל השאלה האם צריך להסיק מסקנה מ-30 הטלות קובייה רצופות (ויחידות) שנפלו על 6.
30 ההטלות הראשונות הן חסרות כל ערך מסקנתי על הקובייה, כיוון שלא עלתה ההשערה שהקובייה אינה הוגנת. 30 ההטלות הבאות, אפילו בלי לצרף אותן להטלות הקודמות (שכן הוא היה אומר אותו הדבר על קובייה מקבילה, לא זו שכבר הטלנו), נותנות לנו "את כל הלגיטימציה ההסתברותית שבעולם לחשוב שהקוביה אינה הוגנת".

ו. סיכום ביניים בדעתו של עידו

נסכם את דעתו של עידו בדוגמא קצרה:
ראובן גר בישראל ומטיל קובייה 40 פעם, ובכולן יוצא 6. במשך כל ההטלות הללו לא עולה בדעתו האפשרות שהקובייה אינה הוגנת, ועל כן הוא אינו רשאי להסיק שום מסקנה מהתוצאה הזו, אחרת הוא יחשב כאחד "שפיספס כמה קורסים רלוונטיים".
שמעון גר בארה"ב ומטיל קובייה 40 פעם, ובכולן יוצא 6. אחרי הטלה מספר 10, עולה בדעתו האפשרות שהקובייה אינה הוגנת, ולכן, לאור 30 ההטלות הבאות, יש לו "את כל הלגיטימציה ההסתברותית שבעולם לחשוב שהקוביה אינה הוגנת".

הרי מדובר בשאלה עובדתית: האם הקובייה הוגנת או לא. בשני המקרים ההטלות הניבו תוצאות זהות לחלוטין. ההבדל היחיד הוא שלרוע מזלו של ראובן, מבנה המח שלולא גרם לו להעלות בדעתו את האפשרות שהקובייה הוגנת, עד להטלה מספר 40, ועל כן הוא אינו רשאי להסיק שום מסקנה מההטלות.
שמעון, לעומתו, ניחן במח מוצלח, כזה שגרם לו להעלות את השערת הקובייה הלא הוגנת כבר אחרי 10 הטלות, ועל כן הוא רשאי להסיק, על סמך 30 ההטלות הבאות, שהקובייה אכן אינה הוגנת.

איזה הבדל מוצא עידו בין שני המקרים? אין מנוס מלהסיק שעידו סובר שהמחשבה של שמעון "קידשה" את ההטלות הבאות, וגרמה להן, הלכה למעשה, להוכיח שהקובייה אינה הוגנת.

ז. דחיית פרשנות אלטרנטיבית בדעתו של עידו, וכמה ספיקות חמורים

עידו אינו טוען שהמצב בשתי הקוביות, של ראובן ושל שמעון, זהה לחלוטין (קרי, הסיכוי שהקובייה של ראובן אינה הוגנת שווה בדיוק לסיכוי שזו של שמעון אינה הוגנת), ורק קיים "איסור" על ראובן להסיק מסקנה מההטלות, כיוון שהוא "החמיץ את ההזדמנות" ולא העלה את ההשערה בזמן. אם כך הוא היה טוען, אז הוא בעצם אומר לראובן: "אכן, כנראה הקובייה שלך אינה הוגנת, אך לך אסור להאמין בזה!" (אני לא יודע מה יותר מופרך לטעון, שהמחשבה משפיעה על היותה של הקובייה לא הוגנת, או שאנחנו מענישים אדם טיפש (שלא העלה את ההשערה בזמן), ואוסרים עליו להסיק את המסקנה המתבקשת מההטלות).
מה שהוא טוען זה שהמצב בשתי הקוביות אינו זהה, ובמילים אחרות ניתן לומר: המחשבה של שמעון גרמה לקובייה להיות לא הוגנת.
מיסטיקה מהסוג ההזוי ביותר, פשוט אין מילים.
אם נשתמש בלשונו של עידו כנגדו (3 המילים האחרונות הן שלי): "דברים לא נהיים יותר או פחות סבירים, לפי מחשבתו של האדם"

שיטתו של עידו בסוגיה, מעוררת כמה וכמה חקירות וספיקות חמורים בגדרי "סימון תוצאות", שבטח היו נשארים ב'תיקו' בגמרא:
1) האם 'סימונים' דאורייתא או דרבנן?
2) האם מספיק להעלות בדעתנו את האפשרות שהקובייה מזויפת, או שמא 'דברים שבלב אינם דברים' וצריך להוציא זאת בפה?
3) אם תמצא לומר שמועילה מחשבה בלבד, האם מחשבה קלושה מספיקה, ואולי אפילו 'סתמא מסמן', או שמא יש לחשוב על כך במחשבה ברורה וחזקה?
4) האם "סימון תוצאה" של בן אדם אחד מועילה לאדם אחר, או שמא רק המסמן רשאי להסיק את המסקנות מרצף ההטלות המיוחד?
5) אם תמצא לומר שמועילה, האם נאמן אדם לומר שעלתה במוחו האפשרות שהקובייה לא הוגנת, ויועיל הסימון גם לחברו, או שמא צריך עדים בדבר?
6) אם אדם אמר בפני עדים שהוא העלה בדעתו שהקובייה אינה הוגנת כבר אחרי 10 הטלות, וכעת הוא חוזר בו וטוען שסתם התבדח, האם הוא בכל זאת חייב להסיק שהקובייה אינה הוגנת, כדין 'שוויה אנפשיה חתיכא דאיסורא'?
וה' יאיר עינינו.

ח. על פליאה סטטיסטית הקשורה למחשבה

לאור מה שאמרנו, חשוב להדגיש שבכל זאת ישנו מצב בו המחשבה היא זו שגורמת לנו להסקת המסקנות, ועם זאת לא מדובר במיסטיקה של עידו.
הנה דוגמא: אדם חשב קודם הטלת קובייה על רצף סתמי כלשהו בן 1000 ספרות, למשל, ואכן רצף זה התקבל בהטלת הקובייה. לולא היה האדם חושב על הרצף הזה טרם הטלת הקובייה, לא היה שום דבר מוזר בהטלות, שכן, כפי שאמרנו, מדובר בסדרה רגילה לחלוטין. דווקא מחשבתו היא זו שיוצרת את ההתפעלות מהרצף הסתמי, שהרי ההתפעלות היא על ההתאמה שבין הרצף עליו חשב המטיל, לבין הרצף שהתקבל. מסקנה אפשרית מאירוע שכזה יכולה להיות שמישהו גרם לו, על ידי טריקים פסיכולוגיים, לחשוב דווקא על מספר כלשהו, ובהתאם לכך הטיל את הקובייה במיומנות רבה. אפשרות נוספת היא שאדם מיומן קרא את הרצף עליו הוא חשב על ידי הסתכלות בשפת גופו, ובהתאם לכך הטיל את הקובייה.
שימו לב שזה שונה לחלוטין מהמקרה בו עידו עוסק, שם האדם העלה את האופציה שהקובייה איננה הוגנת בעקבות כך שהיא כבר נפלה 30 פעמים על 6, כך שאין כל חשד שמישהו שתל מחשבות אלו במוחו, ולכן אין להתפלא על ההתאמה שבין מחשבותיו, לבין הרצף הראשון והשני שהתקבל. בן אנוש חושד בקובייה כאשר הוא רואה שהיא נופלת שלושים פעם על 6, ואין במחשבתו זו שום פלא. במקרה ההוא הוא אינו מתפלא על ההתאמה שבין מחשבתו לתוצאה בפועל, אלא על תוצאות ההטלות עצמן.

ט. מקור טעותו של עידו, וההבנה הנכונה של דוגמת המהמר

דומני שמה שהביא את עידו לטעות החמורה והמגוחכת הזו, היא דוגמת המהמר שלו.
דווקא דרך דוגמא זו, בה גם עידו מסכים שסביר לומר שהקובייה איננה הוגנת, ניתן יהיה להסביר את האינטואיציה במקרה הראשון של הרב אברהם.
כותב שורות אלו חש שבדוגמת המהמר המסקנה על כך שהקובייה אינה הוגנת היא חזקה יותר ממסקנה שכזו במקרה הרגיל של הרב אברהם (אם כי גם שם היא מתבקשת, כדלקמן).
אם כן, כנראה מה שגורם לי לחשוב שבדוגמת המהמר המסקנה יותר חזקה, הוא מה שגורם לעידו בכלל להסיק את המסקנה במקרה ההוא.

ובכן, מה גורם לנו להסיק ביתר חוזק בדוגמת המהמר שהקובייה? התשובה היא פשוטה ביותר: אנחנו יודעים כעת על קיומה של מוטיבציה לגרום לקובייה ליפול על 6. המהמר שם את כל כספו על כך שתצא התוצאה הזו, וסביר שהוא גם רוצה לנצח. הנה שתי אפשרויות להסברת המאורע הנדיר: 1) המהמר שיחד את אחד מעובדי הקזינו כדי שיביא קובייה שאינה הוגנת. 2) מטיל הקובייה הטיל את הקובייה במיומנות רבה כך שהיא תיפול רק על 6.
יש לשים לב שלפי האפשרות השנייה, יתכן שהקובייה הוגנת למהדרין, ורק מטיל הקובייה יודע כיצד לגרום לקובייה הוגנת ליפול דווקא על תוצאה מסוימת. הצד השווה שבין שתי האפשרויות הוא שההטלות אינן אקראיות, ולא שהקובייה אינה הוגנת. כמובן, ייתכן וקיימות דרכים נוספות בהן יכול היה המהמר להוציא לפועל את תוכניתו.
כשאנו מודעים לקיומה של מוטיבציה כזו, ואכן התקבלה התוצאה שהיא רצתה להשיג על אף אי סבירותה הקיצונית, הסברה נותנת לחבר בין שתי ידיעות אלו, ולהניח שמישהו גרם לכך שהקובייה תיפול 30 פעם דווקא על 6. אם לא כך, מדוע הסכים המהמר בכלל להיכנס להימור הזה? ומדוע לא להמר על רצף שמתפלג באופן סביר יותר? מהיכן הגיעה למוחו ההחלטה להמר דווקא על תוצאה מיוחדת כמו 30 פעמים 6, ולא סתם תוצאה אחרת? האם שמענו על מישהו שמילא כרטיס לוטו שלם עם אותו מספר? מכאן ניתן להסיק, שהמהמר כנראה ידע מה הוא עושה, והוא לא נכנס להימור כה בלתי אפשרי (גם ללא קשר לתוצאה המוזרה, פשוט מדובר בהימור עם סיכוי זכייה של 30^(1/6)). די ברור שהוא לא עשה זאת בצורה עיוורת.
דמיינו אדם זר שניגש אליכם ברחוב, ואומר לכם: "בוא נעשה הימור: אם אני מצליח לנחש את כל הספרות של מספר הטלפון שלכם, תתנו לי 1,000 ₪, ואם לא, אתן לכם 1000 ₪", הסכמתם להימור, והוא אכן הצליח לנחש את המספר. מהי המסקנה המתבקשת? די ברור שהוא ידע את המספר שלכם בדרך אחרת (אולי חבר שלכם אמר לו), והוא פשוט רימה אתכם (נתעלם כרגע מהאפשרות שהוא "קורא מחשבות"), פשוט כי אין הגיון להיכנס להימור מסוכן ולא משתלם שכזה, שהסיכוי להפסד בו הוא כמעט 100%.
כמובן, אין להשוות זאת להגרלת לוטו שם הפרס הוא פי כמה וכמה מעלותו של הכרטיס, כך שישנה מוטיבציה מסוימת להימור שכזה על אף סיכוייו האפסיים, מה שנקרא 'רווח ממוצע'.
יש להדגיש שבדוגמת המהמר, גם אם ההימור לא היה שקול (אלא משהו כמו לוטו), עדיין היה סביר יותר לומר שהקובייה אינה הוגנת, כי עדיין ישנה מוטיבציה לקבל את התוצאה המיוחדת, גם אם היא פחותה.
כפי שהדגיש עידו, ובזה הוא צדק, בדוגמת המהמר סביר שישנה רמאות גם אם התוצאה עליה הימר היא רצף סתמי, כל עוד תוצאת ההטלה הייתה זהה לה, שהרי גם בהימור על רצף סתמי, קיימת המוטיבציה של המהמר לקבל את הרצף.

עידו חש שבדוגמת המהמר סביר לומר שהקובייה איננה הוגנת, וניסה לחלץ את המאפיין שמבדיל בין דוגמה זו לבין דוגמת הקובייה, שם כל הרצפים הם שווי הסתברות והתוצאה היא "מענגת אסתטית" בלבד. החילוץ שלו היה שגוי לחלוטין. במקום להבין שהשאלה היא החשד שמישהו רוצה דווקא בתוצאה המסוימת שיצאה (לאור הידע שההימור היה על רצף מסוים), הוא חילץ את העובדה שהתוצאה הייתה "מסומנת" לפני הטלת הקובייה.

י. דחיית אפשרות אחרת להסברת דעתו של עידו בדוגמת המהמר

ניתן היה לדחות דברים אלו ולומר שכוונתו של עידו, בדוגמת המהמר, היא שאנחנו מתפלאים על ההתאמה שישנה בין שני רצפים: הרצף עליו הימר המהמר, והרצף שיצא בפועל. אך זו בוודאי לא כוונתו של עידו. לפי הטיעון שלו (שלא מקבל את ההסבר שלנו, שהסברה לומר שהקובייה איננה הוגנת נובעת בגלל החשד לרמאותו של המהמר), אין אפשרות להסיק מהתאמה שום מסקנה. מה בכך שזה "אסתטי" בעינינו שהרצף של המהמר זהה לרצף שיצא בפועל? זה עוד אחד מהאפשרויות, שכולן, כזכור, בעלות סיכוי זהה.
הרי גם את שלושים ההטלות שהניבו 6 ללא "סימון", ניתן לחלק לשני רצפים של 15 פעמים 6, ש"מסתמנים" מאליהם תוך כדי ההטלות (ניתן כמובן גם לקחת רצף כפול של שישים הטלות שנותנות 6, כך שהרצף מתחלק לשתי תוצאות בנות שלושים פעמים 6). ניתן גם לדבר על מקרה בו מטילים במקביל, או אפילו בזו אחר זו שתי קוביות שונות שנופלות שלושים פעמים על 6 (בלי שעלה בדעתנו שהן אינן הוגנות), במקרים אלו עידו אומר שאין להתפלא מהרצף, ואין כאן "סימון", כל עוד לא העלנו על דעתנו במשך כל ההטלות את האפשרות שמדובר בקובייה שאיננה הוגנת. מה ההבדל בין דוגמת המהמר לדוגמת הקובייה? עידו הבין שההבדל הוא, שבדוגמת המהמר הרצף המיוחד עלה בדעתו של המהמר, לעומת דוגמת הקובייה שם איש לא העלה את ה"סימון". רק נותר לנו לשאול את עידו מניין לו זאת? האם מדובר בגזירת הכתוב שרק מחשבה יכולה "לסמן" תוצאות, או שמא זו הלכה למשה מסיני? שוב רואים באילו שטויות עסקינן.
נסביר יותר: עידו טען שרצף של שלושים פעמים 6 אינו מיוחד, כי הוא שווה הסתברות לרצף סתמי של: 14523585565 וכו'...
הוא לא החשיב את העובדה שחציו הראשון של הרצף שווה לשני. אם כך, יש להיות עקבי, ולטעון באופן דומה שגם אצל המהמר אין כל חשיבות לכך שחלקו האחד (מה שהמהמר הימר) שווה לזה השני (התוצאה שיצאה בפועל), שהרי הסיכוי שיצא רצף כזה שווה בדיוק לכל תוצאה אחרת, למשל לתוצאה הבאה:
המהמר הימר על: 546138216795312864573125679528,
ויצא בפועל: 652739215867259165382791582465.
אם כן, ברור שהוא הבין שצריך מישהו אנושי ש"יסמן" תוצאה, והוא אף אמר זאת בפירוש. הדברים פשוטים, אלא שאנו רוצים להסיר במאמר זה כל אפשרות של ערעור.
אם נסכם את דוגמת המהמר: ברור שמה שגורם לאינטואיציה שלנו לומר, ביתר חוזק, שהקובייה אינה הוגנת, היא העובדה שאנו יודעים על קיומה של מוטיבציה של המהמר לתוצאה מסוימת מאוד, שסיכוייה ביחס לכל שאר האפשרויות שאינן "רצויות" על ידו, הוא זעום, ולכן אנחנו חושדים שהוא אחראי לכך שהתקבלה דווקא התוצאה הזו.
זה הכול. אין שום צורך במיסטיקה תימהונית, במחשבות שמחוללות מציאות, ב"סימונים" של תוצאות, ובשאר ההזיות של עידו.
מכאן שגם אין צורך לדון ולפלפל בגדרי "סימון תוצאות", ובכך בטלות כמין חומר כל החקירות והספיקות דלעיל.

יא. מעבר מדוגמת המהמר לדוגמת הקובייה

כעת נחזור לדוגמת הקובייה של הרב אברהם, ונראה שבידינו נמצאת התשובה לשאלת מקורה של האינטואיציה האומרת לנו שהקובייה אינה הוגנת.
נדגיש קודם שבלתי אפשרי לשים גבול חד בין מספר ההטלות שעדיין יכול להתקבל כמקרה, לבין מספר הטלות שכבר מעיד בצורה חזקה (אם כי אינה וודאית, שהרי תמיד יתכן שמדובר במקרה), על היותה של הקובייה בלתי הוגנת.
על מנת לחוש היטב באינטואיציה, ניקח מספר ענק של הטלות שיוצאות כולן על 6: 10^10, עשר מיליארד הטלות. מספר אסטרונומי לכל הדעות. נאמר גם שאלו ההטלות היחידות שנעשו עם הקובייה.
לכאורה האפשרות היחידה להסיק מסקנה מתוצאה שכזו, היא לומר, כפי שראינו בדוגמת המהמר, שסביר שישנו מישהו בעל פוטנציאל להיות מעוניין בתוצאה כזו, ולכן הוא הטיל את הקובייה, במיומנות רבה, באופן שגורם לה ליפול דווקא על 6.
אך למעשה, דווקא בדוגמא זו ישנו הסבר פשוט מאוד לעובדה שהקובייה נפלה רק על 6, ואין צורך להגיע לקיומה של מוטיבציה לכך. אולי פשוט משקלה אינו מפוזר בצורה אחידה בתוך גופה. אם הפאה הנגדית ל-6, כלומר 1, היא כבדה יותר משאר הפאות, דבר זה יטה את הקובייה ליפול בסבירות גבוהה יותר על הספרה 6. לא ידוע לנו על קיומה של מוטיבציה להשיג דווקא את הספרה 6, ולכן ניתן היה לומר שעדיף לתלות את התוצאה באי הוגנות של הקובייה ולא בהטלה מיוחדת.
דווקא בדוגמא זו ישנו מכניזם פשוט שמסביר את אי ההוגנות של ההטלה על ידי אי ההוגנות של הקובייה, אך המטרה שלנו היא להראות שסביר לתלות את ההטלות ה"מענגות אסתטית" גם ללא קיומו של מנגנון פשוט שמסביר אותן, אלא על ידי חשד שמישהו רוצה בתוצאה הזו, ולכן ניקח קודם רצף מיוחד אחר בו המכניזם הזה אינו קיים, ולרצף הראשון נחזור בהמשך.

ניקח רצף הטלות קובייה של 1,2,3,4,5,6 שחוזר על עצמו 10^10 פעמים. כעת אין מכניזם פשוט שיכול להסביר את התוצאה המיוחדת. עומדת בפנינו האפשרות לומר שמישהו גורם בכוונה לקובייה ליפול בצורת הסדרה הנ"ל, והאינטואיציה נותנת שלא מדובר במקרה.
האם גם במקרה זה נסיק שישנו גורם, אולי מטיל הקובייה עצמו, שאחראי על התוצאה המיוחדת, או שנסתפק בתשובה שמדובר בצירוף מקרים מבהיל (רצף של 1,2,3,4,5,6 פעם אחר פעם 10,000,000,000 פעמים)?
די ברור שרוב האנשים הרציונליים יסיקו שישנו גורם שאחראי לתוצאה המיוחדת.
אך מדוע? כפי שהראה עידו, ולפחות בזה הוא צדק, כל רצף הוא נדיר באותה רמה.

התשובה לכך פועלת בדיוק על פי אותו עיקרון בו הסברנו את דוגמת המהמר: ישנו מישהו בעל פוטנציאל לרצות דווקא בתוצאה זו. כשבצד אחד עומדת תוצאה אחת שהיא בעלת פוטנציאל להיבחר על ידי מטיל הקובייה, ובצד השני כל שאר התוצאות, והן רבות מן התוצאה המיוחדת פי מספר אסטרונומי, אם התקבלה דווקא התוצאה האחת, סביר שמישהו תבוני ברר אותה משאר המוני האופציות.
רצף של 1,2,3,4,5,6 הוא בעל פוטנציאל גבוה להיבחר על ידי מישהו תבוני, אם נשתמש בלשונו של עידו, הרצף הזה מענג אותו אסתטית.
כמובן ישנם רצפים נוספים, כמו 6,6,6,6, או 6,5,4,3,2,1, אך גם אחרי שנחבר את כל אלו, עדיין מדובר בטיפה בים לעומת שאר התוצאות הסתמיות האפשריות (במקרה שלנו: 6 בחזקת 10 מיליארד).
אם כל התוצאות האפשריות היו "רצויות" באותה הרמה, לא היינו יכולים להסיק שום מסקנה מסדר מיוחד.
כנראה גם שלא כל התוצאות המיוחדות הן "רצויות" באותה הרמה, אך זה כבר פלפול צדדי שאינו נוגע לעצם הטיעון.

ובכל זאת, ישנם שני הבדלים בין המקרה הזה למקרה המהמר, וצריך לבחון האם אינם משנים את התמונה:

1) אצל המהמר ידועה לנו גם המוטיבציה החיצונית לקבל את התוצאה המסוימת, המוטיבציה הזו היא רצונו לנצח ולהרוויח כסף. אצל מטיל הקובייה הנוכחי, לעומת זאת, איננו יודעים מהי המוטיבציה החיצונית שלו ליצור סדרות בלתי פוסקות של 1,2,3,4,5,6 או אפילו אם בכלל ישנה כזו.
2) אצל המהמר, הרצון ברצף המיוחד (30 פעמים 6) מופיע בצורה קונקרטית וממוקדת, הוא הרי הצהיר בפירוש שהוא מהמר על רצף של 6. אצל המטיל הנוכחי, לעומת זאת, אנחנו מעריכים שיש לו פוטנציאל לרצות סדרות בלתי פוסקות של 1,2,3,4,5,6 ללא מידע קונקרטי על כך, אלא מסברה שרצף שכזה הוא בעל סיכוי גבוה להיות מבוקש על ידי אדם (במאמר הבא נרחיב זאת לכל ישות תבונית).

האם הבדלים אלו משנים את התמונה? נראה שלא.
כדי להדגים את חוסר הרלוונטיות של ההבדלים הנ"ל ניתן דוגמא אחרת, בה האינטואיציה מתחדדת מאוד.
חבריי משחקים בקלפים, ולצערי לא הוזמנתי למשחק. כשאני מגיע לשולחן אחרי שהם סיימו, אני מוצא את חפיסת הקלפים, מסתכל בה, ו"חושכות" עיניי: הקלפים מסודרים לפי סדר עולה: 1,2,3,4,5 וכו', וכן הסימנים מסודרים בסדר אחיד (בתוך כל מספר): לב, יהלום, עלה, תלתן, בצורה מושלמת.
אני מסיק מיד שמישהו, בעמל רב, סידר את הקלפים בסדר עולה.
אך כעת מגיע ידידי עידו, ואומר לי: "אתה לא יכול להסיק שמישהו סידר את החפיסה הזו, שכן הסיכוי שיצא הסדר הנוכחי, שווה בדיוק לכל סדר סתמי אחר. העובדה שהסדר הזה מענג אותך אסתטיתאינה מתירה לך להסיק מסקנות פזיזות. כל עוד לא סימנת את התוצאה הזו מראש, אין כאן שום דבר מפתיע, נדמה לי ששכחת כמה קורסים בסיסיים בהסתברות".
דומני שגם פה רוב האנשים הרציונליים יאמרו שבסבירות גבוהה מאוד אחד מחבריי סידר את החפיסה בצורה כזו מיוחדת, ולא מדובר במזל גרידא.
מדוע? הרי לכל סדר ישנו סיכוי אפסי (מספר האפשרויות בהן אפשר לסדר חפיסת קלפים הוא !54, מספר בלתי נתפס)!
התשובה היא פשוטה: מפני שהסדר הנוכחי הוא בעל פוטנציאל גבוה מאוד להיות מבוקש על ידי אדם תבוני.
כעת נשאל: כיצד אנחנו מתירים לעצמנו להסיק מסקנה שכזו? הרי זה לא דומה לדוגמת המהמר כי:
1) איננו מכירים את מטרתו החיצונית של מסדר הקלפים ש"המצאנו". מילא אם היינו יודעים שיש בשבוע הבא תחרות של סידור חפיסת קלפים בזמן הכי קצר, ניתן היה לתלות את סידור החפיסה במוטיבציה החיצונית הזו, אבל אנחנו לא יודעים על תחרות שכזו.
2) הרצון של האדם בסידור המיוחד הנ"ל לא ידוע לנו בצורה קונקרטית וממוקדת (כמו בדוגמת המהמר).

מכאן רואים שעל מנת להסיק מסקנה על קיומו של מסדר, אין צורך לדעת מהי מטרתו החיצונית, או אם היא בכלל קיימת, וכן אין צורך להכיר את הרצון בתוצאה המיוחדת באופן קונקרטי. עקרונית, יכול להיות שהמסדר החליט לסדר את החפיסה סתם כך ללא מטרה ברורה. אולי הוא עשה זאת כדי להפיג את השעמום שלו, אולי החברים עשו ביניהם תחרות מי מסדר חפיסת קלפים בזמן הקצר ביותר, ואולי אפילו, למרות שאין לי על כך שום מידע, אכן ישנה תחרות סידור חפיסות קלפים בשבוע הבא.

הכרת רצון קונקרטי ומטרה חיצונית אמנם מגדילה את סבירות המסקנה אודות מסדר תבוני, אך הדבר נראה לא מאוד משמעותי ביחס למסקנה דומה בלעדיה (האם דוגמת המהמר נראית סבירה יותר משמעותית מדוגמת חפיסת הקלפים? כמובן אחרי שנשווה את ההסתברות של שניהם).
אם כן, די בהבנה שרצף מסוים הוא בעל פוטנציאל להיות רצוי, ולו לשם מטרה פנימית (עונג אסתטי), על ידי אדם תבוני.
חשוב לציין שההבחנה בין מטרה חיצונית לפנימית היא מלאכותית בלבד, ונועדה כדי לסבר את האוזן. מדוע הנאה אסתטית או הפגת שעמום הן מטרות פחות חיצוניות מאשר תחרות קלפים בשבוע הבא?
ניתן גם לדון האם תמיד ישנה, בהגדרה, מטרה כלשהי לפועלות שעושה האדם, אך לשם ביסוס העניין בו אנו עוסקים, נראה כי אין כל צורך להיכנס לפלפולים אלו.

הנקודה הקריטית פה היא ההבנה ששתי הדוגמאות, המהמר של עידו והקובייה של הרב אברהם, פועלות בדיוק על אותו העיקרון, ונעות בדיוק על אותו הציר של "היכרות עם מוטיבציה לתוצאה מסוימת בעלת הסתברות נמוכה". כפי שראינו, ישנם הבדלים מסוימים בין שני המקרים, אך הם אינם משנים את התמונה, ואינם תנאי הכרחי להסקת המסקנות המתבקשות. מי שמסיק מסקנות בדוגמת המהמר, אמור עקרונית להסיק מסקנות דומות גם בדוגמת חפיסת הקלפים (אלא אם קו הגבול שלו עובר בדיוק מתחת למקרים בהם ישנה היכרות קונקרטית עם תוצאה רצויה וידיעה על מוטיבציה חיצונית, דבר שנראה לא סביר בכלל). בכל אופן, מדובר בהבדל כמותי קטן (מהי עוצמת הפוטנציאל של התוצאה להיות רצויה), ולא מהותי (האם היא בעלת פוטנציאל להיות רצויה).
גם בדוגמת המהמר אנחנו חושדים בכך שהקובייה אינה הוגנת אך ורק בגלל שאנחנו מכירים מוטיבציה להטלה מאוד מסוימת.
למעשה, גם אם ההימור לא היה על כסף עדיין המסקנה הייתה נשארת בעינה, שכן התוצאה היא בעלת פוטנציאל להיות רצויה מצד זה שהאדם הימר עליה. דבר זה הופך אותה אוטומטית ל"רצויה" בעיניו, ואם היא אכן התקבלה, והסיכוי לכך היה אפסי, סביר שהייתה כאן רמאות, גם אם הוא לא מרוויח מכך כסף.

חשוב להבין שצורת ההיסק הזו משמשת אותנו במקרים רבים בחיינו.
כשאנו הולכים בטיול במדבר, ורואים אבנים שחורות מסודרות באופן היוצר את המילים: "לחם ויין", מייד נסיק שמישהו תבוני סידר את האבנים בצורה הזו, על אף שהסיכוי שרוח אקראית תיצור את המילים הללו שווה בדיוק לסיכוי שהיא תיצור כל סידור סתמי של האבנים.
מדוע? רק בגלל שרצף זה הוא בעל פוטנציאל להיבחר על ידי מישהו תבוני.
גם בדוגמה זו איננו מכירים את מטרתו החיצונית של הכותב. מה גורם לאדם לכתוב באמצע המדבר: "לחם ויין"? איזו תועלת הוא השיג בזה?
כמו כן איננו יודעים באופן קונקרטי שהרצף הזה הוא בעל פוטנציאל להיבחר על ידי מישהו תבוני, אלא מסיקים זאת מסברתנו.

יב. ניסוח העיקרון הכללי

כעת אנו צריכים לנסח את אוסף הפרטים והדוגמאות שראינו לכדי עיקרון כללי.

נאמר כי הסקת מסקנות מתוצאה מיוחדת מצריכה שני תנאים, או שתי שאלות עליהן צריך לענות:
1) האם ישנה אינדיקציה לכך שקיימת תוצאה מסוימת בעלת פוטנציאל להיות רצויה על ידי מישהו?
2) האם ההסתברות של התוצאה ה"רצויה" הזו אכן זעומה כלפי כל שאר התוצאות שאינן רצויות (=אין לנו אינדיקציה לכך שהן רצויות)?

כשישנה תוצאה אחת שהיא "רצויה", והיא נמצאת בתוך אוקיינוס עצום של תוצאות שאינן כאלה, ואנו מעלים בחכה, בניסיון הראשון, דווקא את זו הרצויה, די ברור שישנה יד מכוונת בדבר, זו שרצתה בתוצאה הזו.
האם זה שיקול וודאי? ברור שלא. בהחלט ייתכן שקרה פה מקרה בלתי נתפס וזכינו לראות קובייה אקראית שנופלת מיליון פעם על 6. ובכל זאת, דומני שכל אדם רציונלי היה שם סכום כסף נכבד על כך שלא מדובר במקרה.

בעצם ניתן לומר שישנו מנגנון המכונה "תבונה אנושית", אשר הוא בעל פוטנציאל מובנה לרצות דווקא תוצאות מסוימות מאוד שהן מיוחדות בעיניו. זה יכול להיות מיליון הטלות של 1,2,3,4,5,6, שלושים פעמים 6 או סידור חפיסת קלפים בסדר עולה.
כאשר אנחנו נתקלים בניסיון אחד שמניב דווקא תוצאה שהיא בעלת פוטנציאל להיות "מבוקשת" על ידי בני אדם תבוניים, והסיכוי האקראי לקבל אותה הוא אפסי, סביר להניח שהתהליך אינו "נקי" והוא עבר דרך המנגנון המכונה 'תבונה', שהוא בעל פוטנציאל גבוה לברור דווקא את התוצאה שהתקבלה מתוך שאר אינספור התוצאות.
כמובן, במקרה בו אין שום תוצאה שמהווה "מטרה" באופן מובנה למישהו תבוני, אף תוצאה לא תפתיע אותנו, על אף סיכוייה הנמוכים. אם למשל נגריל 10^10 גוונים שונים של צבע, אף גוון שיתקבל לא יעורר את חשדנו, שהרי כל הגוונים הם שווי הסתברות ואיננו מוצאים שום ייחודיות באחד מהם כך שיוכל להוות מטרה פוטנציאלית למישהו תבוני.
לעומת זאת, הגרלת קובייה שיוצאת אלף פעמים על 1,2,3,4,5,6, בהחלט יכולה להוות מטרה פוטנציאלית עבור מישהו תבוני, וכיוון שסיכוייה אפסיים, סביר שעברנו דרך מנגנון של "תבונה" שבחר דווקא ברצף זה, מנגנון של תבונה מצריך יש תבוני, ומכאן שמישהו התערב בהטלת הקובייה.

יש להדגיש שגם אם מדובר ברצף סתמי, עדיין ייתכן והאדם בחר אותו ורצה שדווקא הוא יצא.
ייתכן והרצף הסתמי הבא (של הטלת קובייה): 261253 נבחר בקפידה על ידי המהנדס של הקובייה, כיוון שהוא מייצג את תאריך יום הולדתו: 26.12.1953, או את מספר הרכב שלו.
בדומה לכך, כתב עידו בתגובות שאין לראות דווקא ברצף של 1,2,3,4,5,6 משהו מיוחד על אף פשטותה המתמטית של הפונקציה המתארת אותה, מפני שאפשר למצוא לכל רצף של מספרים פונקציה שתתאר אותו.
אך הטענה הזאת בטעות יסודה. ראשית, מפני שניתן להחיל את האפשרות הזו על כל רצף שהוא, וחזרנו לכך שרצף של 1,2,3,4,5,6 הוא יותר "רצוי" כיוון שהוא יכול לייצג גם יום הולדת אפשרית של המהנדס, או את מספר הרכב שלו, וגם את החיבה של האדם לתוצאות אסתטיות. הפער בין הרצף 1,2,3,4,5,6 לשאר הרצפים נשאר בדיוק כפי שהיה. אך חשוב מכך, תוצאה זו אינה מקיימת את התנאי הראשון בעיקרון שהגדרנו למעלה. על מנת להסביר את הרצף 261253 כתוצאה שנבחרה על ידי מישהו ולא כנגזרת של מבנה הקובייה וצורת ההטלה (קרי, על יד חוקי ניוטון), אנו נדרשים להוסיף מידע חדש: יום הולדתו של המהנדס הוא ב- 26.12.1953 (או כל הסבר חיצוני אחר), ולכן הוא רצה תכנת את הקובייה כך שתנחת דווקא על הרצף הזה. לעומת זאת, ברצפים אסתטיים, תבונתו של האדם הופכת אותם ל"רצויים" גם בלי שיהיה לכך הסבר חיצוני. כפי שאמרנו למעלה, הרצפים הללו מהווים באופן מובנה 'מטרה פנימית' עבור אדם תבוני. כל עוד אפשר להסביר את תוצאת ההטלה על ידי מכניזם שכבר ממילא קיים בעולם, חוקי ניוטון שגרמו לקובייה ליפול על התוצאה הסתמית, אין שום הגיון להוסיף מנגנון של "תבונה" למערכת.
יש לזכור כי תוצאת ההטלה מתפלגת בצורה סבירה בין המספרים השונים, ולכן נראית מתאימה לחלוטין להטלה אקראית, וכן לא סביר לחדש מידע כדי להסביר את הרצף כשהוא מוסבר היטב על ידי חוקי ניוטון. כאן ההסבר הפשוט הוא שההטלה אכן אקראית, בטח ובטח בצירוף העובדה שרוב הקוביות הוגנות.

יתירה מכך, גם אם נוותר על הסבר חיצוני לרצף הסתמי שיצא, ונטען שהקובייה היא בעלת מנגנון פנימי הגורם לה ליפול דווקא על רצף מסוים שנבחר בצורה סתמית על ידי המהנדס, הרי שהגענו שוב לכך שאלו מספרים אקראיים שעלו במוחו של מהנדס הקובייה, כך שכל השאלה היא היכן למקם את האקראיות, בנפילת הקובייה, או במוחו של המהנדס ולכן לא סביר להוסיף סתם מנגנון כשאפשר לקבל את אותו ההסבר על פי חוקי ניוטון.

יג. בחזרה לדוגמת הקובייה

כעת נחזור לדוגמת הקובייה שנופלת על 6. כפי שראינו, שם ישנו מכניזם פשוט שמסביר את התוצאות המיוחדות, משקל הקובייה אינו מפוזר בה באופן אחיד, כך שאין אפילו צורך להגיע לכך שתוצאה זו היא בעלת פוטנציאל להיות רצויה על ידי מישהו, שכן בהחלט ייתכן שמדובר בפגם מקרי בייצור הקובייה, שאיש לא היה מעוניין בו או תכנן אותו.
אז אם נתעלם לרגע מהעובדה שהרצף הזה הוא גם בעל פוטנציאל להיות מבוקש על ידי מישהו תבוני, מה בכל זאת גורם לנו להסיק שלא מדובר במקרה? לכאורה צריך למצוא משהו אחר.
ראשית, נעיר שבוודאי גם לעידו ישנה האינטואיציה שאומרת שאם קובייה נופלת המוני פעמים (מיליון למשל) על 6, אז צריך להסיק שהיא אינה הוגנת, שהרי הוא רק מוסיף תנאי הזוי: צריך שהאדם יעלה במחשבתו את האפשרות שהקובייה הוגנת. אך כיוון שהראינו שהתנאי הזה הוא טעות גמורה, ואינו יכול להשפיע על יכולת ההסקה, סביר שמה שהביא את עידו לומר זאת, היא האינטואיציה שאומרת שמיליון הטלות שנופלות על 6 מעידות על כך שהקובייה אינה הוגנת. הוא רק חיפש "תנאי מספיק" (המחשבה) המאפשר להסיק את המסקנה הזו, שהרי בלי התנאי הזה הוא לא מצא משהו שיכול לגרום לרצף של 6 להיות מיוחד וטעון הסבר, הרי סיכוייו שווים בדיוק לסיכוייה של כל תוצאה אחרת. אך כיוון שראינו שישנו הסבר מצוין מדוע רצף שכזה טעון הסבר, על אף שהוא בעל סיכוי זהה לכל תוצאה אחרת, ממילא אין כל צורך בהמצאה של עידו המחייבת את המטיל להעלות על דעתו את האפשרות שהקובייה אינה הוגנת. כעת ברור שהמחשבה אינה משנה מאומה בעניין הזה, ונותרת השאלה: מדוע עידו חש שהרצף השני של 30 ההטלות טעון הסבר? הרי הוא שווה הסתברות לכל רצף אחר, וכבר ראינו שהמחשבה אינה יכולה להשפיע מאומה. והתשובה היא שגם עידו מסכים (במובלע, כמובן) שרצף של 6 מעיד על כך שהקובייה אינה הוגנת.

כאן אנחנו מגיעים לטעויות נוספות שעושה עידו במאמרו, ולפשטנות בה הוא תופס מצבים מורכבים.
משום מה, הוא הדביק לקובייה סטטוס קשיח של: "הוגנת עד שיוכח אחרת". כאשר זה הסטטוס של הקובייה, הוא לא רואה כיצד 30 הטלות (ללא מחשבתו של המטיל) משנות זאת, הרי הן שוות הסתברות לכל תוצאה אחרת. אנחנו נראה שכלל וכלל לא מדובר בסטטוס קשיח.

כדי להדגים זאת ניטול דוגמא אחרת: אנחנו מגיעים למחשב, ומוצאים בו תוכנה פשוטה, שכותבת למשתמש: "הקש Enter", אנו מקישים על Enter, ומיד המחשב נותן פלט "6", שומר אותו בצד המסך, וכותב: "הקש Enter  שוב", שוב אנו מקישים ומקבלים "6". אנו חוזרים על פעולה זו מיליון פעמים, ובכולן מתקבל 6.
מהי המסקנה המתבקשת בעניין התוכנה לאור מאורע זה? יש לציין שהמשתמש לא העלה בדעתו, לאורך כל הקשות ה-Enter, שהתוכנה מדפיסה רק את המספר 6, כך שעידו, אם הוא רוצה להיות עקבי, אמור לטעון שאכן אין להסיק שום מסקנה על תוכנה שכזו, וכלשונו למעלה (שיניתי את מספר ההטלות): "למה שתוצאה כמו מיליון פעמים 6 תיראה לנו כמו הפתעה הסתברותית? היא סבירה לא פחות ולא יותר מכל תוצאה אחרת, ומפתיעה לא פחות ולא יותר מכל תוצאה אחרת".
ברור שכל אדם רציונלי היה שם סכום כסף נכבד על כך שלא מדובר במקרה מהמם, והיה מהמר שהתוכנה מתוכנתת לפלוט דווקא את המספר 6.

נעדכן את הדוגמא: במקום "הקש Enter", המחשב כותב: "הקשEnter  לקבלת מספר אקראי". כעת התוכנה מעידה על עצמה שהיא מיועדת להוציא מספרים אקראיים, אך כמו בדוגמא הקודמת, גם בדוגמא זו מודפס המספר 6 מיליון פעמים.
האם העובדה שכעת התוכנה כותבת: "לקבלת מספר אקראי", משנה את המסקנה הפשוטה שלא מדובר בצירוף מקרים? ברור שלא. רצף אקראי של מספרים אמור להתפלג בצורה שווה, פחות או יותר, בין המספרים 1-6, בטח כשמדובר במספר ענק של הטלות, מיליון. העובדה שעל המסך כתוב "לקבלת מספר אקראי" אין בכוחה לבטל את המסקנה הסבירה הזו.
נעדכן את הדוגמא באופן נוסף: אחרי שהתוכנה כותבת: "הקש Enter לקבלת מספר אקראי", ולוחצים Enter, היא מציגה על המסך, במשך עשר שניות, משבצת בה רצים באופן אקראי המספרים 1-6, באופן שאינו סדור, ושונה בכל הקשה (לדוגמא, בהקשה הראשונה, ה"ריצה" בין המספרים נתנה: 2432651421. בשנייה: 5364152326 וכן הלאה), ולבסוף נעצרת, למרבה התדהמה, מיליון פעם על 6.
האם כעת המסקנה שלנו תשתנה? האם העובדה שהמחשב מציג לנו 'סרטון' בו הוא רץ באקראיות (כפי שאמרתי, באמת באקראיות), בין המספרים משנה משהו אודות המסקנה החזקה שהתוכנה אינה אקראית באמת?
ברור שהעובדה שהתוכנה מציגה לנו כאילו היא רצה באקראיות בין ששת המספרים ורק לבסוף, במקרה, נוחתת על 6, אינה משנה מאומה, זה לא שונה בהרבה מהתוכנה הקודמת שכותבת: "הקש Enter לקבלת מספר אקראי".

כעת ניתן עדכון אחרון לדוגמא: המאורע הזה אינו מתרחש בתוך מסך המחשב. אנחנו "מוציאים" את הקובייה מתוך המסך, ומשתמשים בקובייה פיסית, ולא בפיקסלים שעל המסך. הקובייה שלנו, בדומה לקובייה במחשב, מציגה עצמה כנעה באקראיות בין המספרים, ולבסוף נוחתת, כביכול במקרה, מיליון פעמים על 6 (כזכור, לא העלנו על דעתנו, במשך כל זמן ההטלות, שהקובייה איננה הוגנת).
האם כעת המסקנה משתנה? ברור שלא. מי שמהמר על כך שתוכנת המחשב הנ"ל מתוכנתת ליפול על 6, אמור, עקרונית, להסכים שגם הקובייה האמתית "מתוכנתת" ליפול על 6, כלומר משקלה אינו מפוזר בה בצורה אחידה.
התפלגות סבירה של מספרים אקראיים אינה אמורה לתת מיליון פעמים 6.
האם בכל זאת ישנו הבדל כלשהו בין המקרים? מסתבר שכן.
כל מי שלמד גמרא מכיר את המושג של "רוב", שאומר שלעיתים, בהיעדר מידע קונקרטי, מתייחסים אל אובייקט באופן בו יותר מסתבר להחזיקו.
למשל, כאשר מוצאים חתיכת בשר ברחוב, ובעיר ישנן 10 חנויות, שתשע מהן מוכרות בשר כשר, ואחת מהן מוכרת בשר טרף, מתייחסים לבשר כאל כשר, כל עוד אין לנו עליו מידע קונקרטי שהוא טרף. מדוע? מפני שסביר יותר שהוא בא מהחנויות הכשרות בעיר (90%), ולא מזו שאינה כשרה (10%).
כך גם במקרה שלנו, רוב הקוביות שמסתובבות בעולם (לפחות אצל אנשים מן השורה, ולא פיסיקאים שעושים ניסויים) הן הוגנות, ומשקלן מפוזר באופן אחיד בתוך מבנה הקובייה.
בהיעדר מידע אחר, סביר יותר להניח שהקובייה הוגנת, מאשר שאינה.
אך מה יהיה במקרה בו ידידינו, בעל מפעל לייצור קוביות, שידוע כאדם נאמן מאוד, מצביע על קובייה מסוימת שייצר אתמול, וטוען שהוא בכוונה פיזר את מסתה באופן לא אחיד? רובנו נהמר על כך שאכן הקובייה הזו אינה הוגנת (כמובן, בהנחה שאנחנו נותנים בו אמון). אמנם רוב הקוביות הוגנות, אך כאן ישנו מידע קונקרטי על כך שהקובייה אינה הוגנת.
גם במקרה של חתיכת הבשר שנמצאה בעיר, במידה והיא עטופה באריזה של חנות לא כשרה, לא נוכל להשתמש ברוב על מנת להתיר אותה, שהרי כאן ישנו מידע ברור על כך שהיא הגיעה מחנות שאינה כשרה.
במילים אחרות: כשאין ספק לא הולכים אחר הרוב (אין הכוונה לוודאות, כמובן).
כל מה שנותר להכריע הוא האם העובדה שהקובייה נופלת מול עניינו מיליון פעמים על 6, יכולה להוציא אותה מחזקת ההוגנות שלה. את כל זה עידו אפילו לא הזכיר.
אם עידו סובר שלא ניתן להסיק מסקנות מקובייה שנופלת מיליון פעמים על 6, הוא בעצם אמור שלא להסיק מסקנות דומות שכולנו מסיקים אותן בחיי היום יום.
לדוגמא: אין אפשרות ללמוד על רמתם הלימודית הנמוכה של תלמידי בית הספר x על פי ציוניהם הנמוכים, שהרי ייתכן שהציונים הנמוכים במשך 30 שנות פעילות בית הספר היו מקרה נדיר ביותר, ובכלל מדובר בתלמידים גאונים ומוכשרים.

שימו לב: לולא שהיינו מכירים קוביות, ויודעים שרוב אלה שמסתובבות בעולם הן הוגנות, אז מדובר בדיוק במקרה של תוכנת המחשב (שם לא התייחסנו לשאלה: "האם רוב התוכנות בעולם שמציגות פלט עושות זאת אקראית או לא", בדוגמא א'. ולא: "האם רוב התוכנות בעולם שמציגות פלט וטוענות שהן עושות זאת אקראית, באמת עושות זאת אקראית או לא" בדוגמא ב').

אם כן, נמצא שכאשר קובייה מתפלגת בצורה שאינה תואמת, באופן קיצוני, את האפשרות שהיא אקראית, צריך להסיק שהיא פשוט אינה כזו. קובייה אקראית אמורה לתת את כל מגוון המספרים, בהתפלגות שווה פחות או יותר (ככל שמדובר במספר הטלות גבוה יותר, אז ההפרשים מצטמקים) ולא מספר אחד ויחיד שחוזר על עצמו מיליון פעמים. אך כפי שאמרנו, לא מדובר במסקנה וודאית.
מיליון הטלות קובייה שנופלות רק על תוצאה של 6, מעידות כאלף עדים על כך שהקובייה איננה הוגנת.

נסכם את מה שראינו:

1) אין שום השפעה למה שחושב האדם על שאלת יכולתו להסיק מסקנות מההטלות עצמן (לעומת מצב בו הפליאה היא מההתאמה שבין מחשבתו של האדם לבין תוצאת ההטלות, וגם המסקנה תהיה במישור זה).
2) יש להסיק מסקנה מרצף הטלות, במידה והתקבל רצף החשוד ככזה שיכול להיות מבוקש על ידי מישהו תבוני, ואין חילוק בין רמות שונות של "חשד" (אולי הבדל קטן בעוצמת ההיסק): במקרה בו ידועה לנו גם מוטיבציה חיצונית ברורה וחזקה (דוגמת המהמר), במקרה בו ישנה מוטיבציה חיצונית חלשה יותר (אותו מהמר, רק במשחק ללא כסף), ובמקרה בו  ניתן לזהות רק 'מטרה פנימית', וגם זה לא בצורה קונקרטית אלא מסברה הנובעת מהיכרותנו עם תבונה אנושית (דוגמת חפיסת הקלפים).
3) תנאי נוסף להסקת המסקנה הוא שהרצף בעל הפוטנציאל להיות "מבוקש" הוא אכן בעל הסתברות נמוכה משמעותית ביחס לכל שאר הרצפים. לא סביר להסיק מסקנה על קובייה שנופלת 3 פעמים על 6, למרות שמדובר בתוצאה שבהחלט יכולה להיות "מבוקשת", שהרי גם אפשרות האקראיות מסבירה זאת בסיכוי לא מאוד נמוך.
4) בלתי אפשרי לשים גבול חד בין מספר הטלות שמעורר קושי, לבין מספר הטלות שיכול להתקבל באופן סביר כמקרה.

קיצורו של דבר כך הוא: אם קובייה אינה מתפלגת באופן סביר, ומדובר במספר גדול של הטלות, צריך להסיק שהקובייה או ההטלות אינן אקראיות.
אם היא מתפלגת באופן סביר, אך התקבלה תוצאה "רצויה" ונדירה, צריך להסיק שמישהו תבוני רצה בה.

יד. העיקרון האנתרופי

כדי להשלים את המענה למאמרו של עידו, נדבר בקצרה על העיקרון האנתרופי, ונראה שעידו כלל לא הבין אותו.
נציג גרסה פשוטה של הראייה הפיסיקו- תיאולוגית בקצרה: קבועי הפיסיקה יכלו לקבל ערכים שונים ומשונים, אשר מתוכם רק סט צר מאוד של קבועים מאפשר למבנים מורכבים בכלל, וחיים בפרט, להתקיים. כדי לסבר את האוזן, נאמר שערכי הקבועים יכלו לקבל מליארדי ערכים שונים אשר מתוכם רק אחד מאפשר חיים, והנה אנחנו רואים שהם קיבלו דווקא את הערך הזה.
כעת עונה האתאיסט: אם לא אלה היו הקבועים לא יכולנו להתקיים, ולכן אין ממה להתפלא. פה בדיוק כושל הערעור האנתרופי בצורתו זו. הוא תוקף איש קש. איננו מתפלאים מכך שדווקא ביקום בו אנו, יצורים הצריכים תנאים מסוימים כדי להתקיים, מתקיימים תנאים אלו. הוא אינו מתפלא על ההתאמה שבין ערכי הקבועים ליכולתנו להתקיים, אלא על עצם זה שהקבועים הם דווקא אלה המאפשרים חיים.
מתי, תיאורטית, יכול היה הערעור הזה להיות תקף? אם כל סט של ערכי פיסיקה היה מאפשר את קיומם של חיים מסוג אחר. במצב כזה המאמין היה בבעיה, שהרי מערכת החוקים שלנו אינה מיוחדת, כיוון שכל מערכת חוקים תאפשר (ותיצור) יצורים מסוג אחר. מה עושה המאמין? טוען את הטיעון הבא: יש אלוקים! אחרת כיצד ניתן להסביר את העובדה המופלאה שדווקא אנו, יצורים חיים מסוג 374294 נמצאים ביקום בעל סט מספר 374294 של קבועים, היחיד המאפשר את קיומנו? הרי אם היו נמצאים פה חוקים אחרים היינו מתים בין רגע. ברור שיש אלוקים שדאג לשים אותנו דווקא ביקום שמתאים לנו.
כמובן שטיעון כזה אינו תקף, בעקבות הידע המדעי שלנו על העולם. אנחנו יודעים שיצורים חיים נוצרים בתוך היקום עצמו, על ידי חוקיו, ולא באיזו מעבדה חיצונית שמייצרת יצור ובסוף משגרת אותו ליקום המתאים לו. כפי שהנחנו, כל מערכת חוקים תיתן יצורים אחרים (ועל כן נאלץ המאמין להוכיח את אלוקים מההתאמה שישנה בין הקבועים לסוג החיים שנמצא פה), ולכן יפה עונה לו האתאיסט: "אם החוקים היו שונים, לא היית פה ולא יכולת להעלות את השאלה (כי היקום לא היה מייצר אותך אלא יצור מורכב אחר שמתאים לפה)".
אך המציאות היא לא כזו (ולא פה המקום לבסס זאת), ממש לא כל חוקי וקבועי פיסיקה שהם, היו מאפשרים ויוצרים סוג אחר של מבנים מורכבים וחיים, ועל כן יכול המאמין להוכיח את קיומו של יש תבוני שברר את מערכת החוקים המיוחדת מתוך שאר המערכות האפשריות. המערער האנתרופי תוקף פה איש קש, כאילו המאמין מוכיח את אלוקים מההתאמה שבין החוקים לבין קיומנו, ולא היא.

מהפסקאות שבתחילת מאמרו של עידו, קל לשים לב שהוא בכלל לא הבין את כל הדקדוק שכתבנו כעת, וגם לא את הדרך בה דחה הרב מיכאל אברהם את העיקרון האנתרופי (שהיא היא דרכנו, רק הרחבנו וחידדנו אותה) והוא עצמו נכשל במקום בו כושל הערעור האנתרופי.
דוגמאות: "על השולחן יש שני הסברים להתאמה בין החיים לכדור הארץ"
"עצם ההתאמה בין החיים לכדור הארץ לא צריכה להפתיע אף אחד... אברהם צריך לנסות להראות שהחיים על כדור הארץ הם איכשהו בכל זאת תופעה שההסבר הכי סביר לה הוא קיומו של אלוהים-מהנדס".
הרב מיכאל אברהם מביא פה את הדוגמא של הקובייה, ואומר שעל פי העיקרון האנתרופי אין צורך להתפלא מהתוצאה המיוחדת: שהרי "אם זה לא היה קורה, לא היינו שואלים זאת", עידו חשב שמדובר בדוגמא מגחיכה, אך זה ממש לא הסיפור. אם מתבוננים היטב, זה בדיוק מה שעושה הערעור האנתרופי לטיעון מן המורכבות, הוא חותך מקשה אחת לשני חלקים ומכניס בפיו של המאמין כאילו הוא מתפלא מההתאמה שבין שני החלקים: קיומנו והתנאים לקיומנו, בעוד ההוכחה היא מעצם הימצאותם של התנאים לקיומנו (שהם בטלים לעומת שאר התנאים שלא היו מאפשרים לשום דבר מורכב להתקיים).
גם פה, המערער שמציג הרב אברהם חותך לשתיים מקשה אחת, ומציג כאילו אנחנו באים להסיק מסקנות מההתאמה של שני חלקים הכרחיים לוגית: ההטלה המיוחדת, והתפעלותנו ממנה.
דוגמת כיתת היורים מדגימה נקודה זאת ביתר פירוט, ראו שם. דוגמה נוספת שהגה ריצ'רד סווינבורן ניתן למצוא במחברת של הרב אברהם בפרק על העיקרון האנתרופי.
כצפוי, גם כאן עידו לא מאכזב: "יש לנו ידע רקע על בני אדם, על החברה האנושית, על מערכות משפט וחוק, על הוצאה להורג, על תפקידן של כיתות יורים בהוצאה להורג, על התוצאה הנפוצה של הוצאות להורג (רמז: מוות של הנידון למוות), על רובים ועל רובאים."
אין שום צורך להכיר רובים, רובאים, את תפקידן של כיתות יורים, את מערכת המשפט או כל מידע לא רלוונטי אחר. הדבר היחיד שצריך לדעת הוא שכיתת יורים לא מפספסת.
עידו סובר, כנראה, שאין לדמות את מערכת החוקים שלנו לנידון למוות, כיוון שאין לנו ידע על התפלגות הסיכויים לקבל מערכת חוקים המאפשרת חיים, או אם היא בכלל נוצרה, וכך הוא אכן כותב במאמר הרביעי בסדרה שלו, לא נתייחס כעת לטענה זו.
נזכיר רק כי ישנה גרסה שונה לעיקרון האנתרופי, המוסיפה טענה על קיומם של אינסוף יקומים עם חוקים שונים ומשונים שמתקיימים במקביל לנו, או התקיימו בעבר, כך שאין צורך להתפלא מהיקום המיוחד שלנו, כי "אם היו חוקים אחרים לא יכולנו להתקיים פה".
במאמר הבא נעשה את המעבר ממאורעות מיוחדים שקורים בעולם שלנו (קובייה שנותנת מיליון פעמים רצף של 1,2,3,4,5,6, חפיסת קלפים שמסודרת בסדר עולה וכו'), לשאלת הוכחת קיומו של מתכנן תבוני ליקום מחוקי הפיסיקה המיוחדים. נצטרך להסביר האם ניתן להשתמש בהגיון שראינו פה כדי להסיק על עצם קיומו של יש תבוני כלשהו, שאינו ידוע לנו ממקור בלתי תלוי בתוצאה המיוחדת.

לתגובות, הערות, הארות, השגות ותיקונים:sutu.hox@gmail.com

תאריך כתיבה: תשרי תשע"ח.

שתף מאמר זה

תגובות ישירות

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *