הסתברות וסטטיסטיקה הן אמנם ענף של המתמטיקה ועם זאת הינן מתעתעות, משעשעות ולפעמים מרגישות, כנראה בטעות, כמו מיסטיקה לכל דבר.
בפרשת משפטים (כג ב) אנו פוגשים – אם אפשר לומר – יחס אמביוולנטי לסמכותה וכוחה של ההסתברות: לֹֽא־תִהְיֶה אַחֲרֽי־רַבִּים לְרָעֹת וְלֹא־תַעֲנֶה עַל־רִב לִנְטֹת אַחֲרֵי רַבִּים לְהַטֹּת.
הגמרא (חולין יא.) מפרשת את סוף הפסוק כמקור להליכה אחרי רוב, אך בתרגום יונתן, ברש"י ובעוד מפרשים (שם) מבוארת דרך אחרת שעל פיה הכתוב בא לשלול את הנטייה אחרי רבים. ובכל זאת, כבר כתב אבן עזרא שניתן, כדברי המדרש, לדקדק מראשית הפסוק – "לא תהיה אחרי רבים לרעות", שלטובה כן ניתן ללכת אחרי רבים.
נראה, אם כן, שהכתוב בא ללמד את ההליכה אחרי רוב, אך דווקא על דרך השלילה ועל דרך ההסתייגות.
כה אמר הפרופסור
בדברים הבאים ברצוני לתאר את המורכבות, המוזרות והפלא שבהסתמכות על רוב או על סטטיסטיקה, ובעיקר את מה שניתן להסיק מזה לגבי המיוחדות האנושית שלנו. הבה נפתח בשמועה ששמעתי בשם פרופסור נתן אביעזר (מחבר "בראשית ברא"). מכיוון שבכוונתי לסתור את דבריו, הנני מבקש מחילה כאן ועכשיו – אם השמועה אינה נכונה או שהיא התעוותה ללא הכר בדרכה אל אזני. להלן עיקרי דבריו:
נניח שאברהם לוי זוכה בפרס הראשון בלוטו. הכל בסדר גמור, למעט מבטי קנאה רושפים מהשכנים לא תהיה שום תגובה מיוחדת. אלא ששבוע לאחר מכן, הוא שוב זוכה בפרס הראשון, התופעה הזו כבר שווה כותרות ראשיות בעיתונים. כאשר הוא שוב זוכה בפעם השלישית, החריגה ההסתברותית הזו תזכה אותו במעצר עד תום ההליכים במגרש הרוסים…
מדוע? – הרי ההסתברות שאברהם לוי יזכה שלוש פעמים ברצף, אינה שונה מההסתברות לזכייה של אברהם לוי, ומיד אחריו יהושע פרלמן, ומיד אחריו יוסף אבולעפיה. אז למה אירוע זה נתפס בעינינו כחריג מאד, והאירוע השני בעל אותה הסתברות לא יעורר כל עניין? – התשובה, עפ"י פרופסור אביעזר, היא שהאירוע הראשון מכיל חשיבות "אנושית", דהיינו דבר מה שנראה "בעינינו" מעורר עניין, בעוד האירוע השני הוא "סתמי". אבל אין שום דרך מדעית להגדיר את השונות בין שני המקרים.
מדובר בתופעה סובייקטיבית שמשתנה מאדם לאדם. למשל, אדם אחד יגיב באדישות לרצף תוצאות הלוטו הנ"ל, לפיהן זכו לוי, פרלמן ואבולעפיה בזה אחר זה, אך אדם אחר יתפעל מאד, כי ידוע לו ששלושתם הם גיסים משכבר. באותו אופן, אם מגדת עתידות תצפה את הרצף הנ"ל, כל מי שהיה עד לנבואה ולהתגשמותה יאחזנו רעד. תורת ההסתברות לכן איננה אובייקטיבית אלא תלויה בנקודת מבט. עכת"ד.
יסלח לי הפרופסור כי איני רואה דבריו. נכון הדבר שכאשר אברהם לוי זוכה שלוש פעמים ברצף זה לא סביר בדיוק כמו הרצף של אברהם לוי, יהושע פרלמן ויוסף אבולעפיה, אלא שבמקרה הראשון יש לנו הסבר חלופי שמתרחש בשכיחות גבוהה יותר, כלומר, האפשרות שאברהם לוי שיחד או שימן את המערכת כדי שתעניק לו שלוש זכיות ברצף היא סבירה יותר, משום שהיא מתרחשת פעמים רבות יותר. כלומר, נניח לצורך העניין ששלוש זכיות ברצף של אברהם לוי מתרחשות אחת לטריליון הגרלות, אבל נתינת שׁלמונים היא אירוע בשכיחות גבוהה יותר שמתרחש אחת למאה אלף הגרלות. ולכן ברור שכדאי לבדוק עם אברהם לוי את הכיוון הזה. לעומת זאת רצף סתמי אחר – לוי, פרלמן ואבולעפיה אכן מתרחש "אחת לטריליון" אבל אין בו כדי להפתיע משום שרצף כלשהו חייב להתקיים, והרי כל רצף אחר גם הוא יהיה בעל שכיחות נמוכה להפליא, ולכן אנו לא נזהה כל בעיה, למעט מקרה שבו ניתן לבסס תיאוריית קשר כלשהי שתהיה סבירה יותר.
לכן, אם ידוע לנו שהשלושה נשאו שלוש אחיות, נבין מיד שהגיסים התגייסו לבזוז את מפעל הפיס, משום שהאפשרות הזו תתברר כסבירה יותר. כך גם אם מגדת עתידות תצפה מראש את הזכייה של החבורה הנ"ל, יהיו שיעדיפו את ההסבר הנבואי על פני ההסבר האקראי, משום שהוא בעיניהם סביר יותר. כלומר, אם לפני כל הגרלה תתרחש הגדת עתידות באופן אקראי אז רק "אחת לטריליון" הגדות והגרלות, התחזית תקלע לתוצאה, ולכן סביר יותר להניח שהצוענית אכן רואה משם דברים שאיננו רואים מכאן.
למען האמת, יתכן שלזה בדיוק התכוון אביעזר, ואשרינו שזכינו לברר את מקחו.
מאסר שווא
הנה דוגמה נוספת לחשיבות הקריטית של ראיית התמונה הכוללת, ניתן להגיע למסקנה שגויה לחלוטין כאשר לא מטילים לחישוב את כל הנתונים הרלוונטיים.
מעשה באישה ששני עולליה מתו במוות עריסה והיא הועמדה לדין באשמת רצח. פרופ' רוי מדואו מאוניברסיטת לידס עמד על דוכן העדים כעד מומחה וטען שהסיכוי למוות בעריסה הוא כ-1/8,000, ולכן הסיכוי למוות בעריסה של שני תינוקות עומד על כ-1/64,000,000. הפרופסור טען שהאם לוקה לכן בסבירות גבוהה בתסמונת "מינכהאוזן על ידי שליח", שנחקרה והתגלתה על ידי מדואו, תסמונת זו גורמת לסובלים ממנה לפגוע בזולתם בכדי להשיג תשומת לב.
השופט התרשם עמוקות מהמספר העצום של הספרות כמו גם מהמומחיות היתרה של הפרופסור, ובשל כך האם השכולה והאמוללה הושלכה לכלא לשנים רבות.
לאחר זמן רב התברר הכשל באמצעות מתמטיקאי שהעיד להגנתה. התקלה נעוצה בכך שברור שגם התסמונת על שם הברון הנ"ל מצויה באוכלוסייה בשכיחות נמוכה מאד, ולכן אין טעם להעדיף אותה על פני האפשרות של מוות בעריסה.
וכמובן, יתכן שיש קשר טבעי, סביבתי או גנטי, שגרם למותם של האחים בעריסתם, ולכן הסבירות למותם בעריסה עולה משמעותית.
אך מה היה קורה אם הסטטיסטיקה כן היתה מצביעה על אשמתה הברורה של האם, האם אז היה ניתן להרשיע אותה? – נחזור לשאלה זו בהמשך.
בולצמן בישל דייסה
נניח שאנו מערבבים בכף רחבה, בלילה רכה של שבולת שועל, דבש ומים, בכיוון השעון, ואז אנחנו מתחרטים. אנחנו רוצים כעת להפריד את הבלילה למרכיביה המקוריים. מה עושים? – לכאורה הפתרון פשוט, עלינו לסובב את הכף בכיוון ההפוך, וכך להחזיר את הגלגל לאחור. חוקי המכניקה יעשו את העבודה וישיבו לנו את המרכיבים למצבם הראשוני והנקי. או שלא.
מדוע לא? מדוע התהליך הינו בלתי הפיך?
החוק השני של התרמודינמיקה מסביר את העובדה הפשוטה שביצים תמיד נשברות ומתפזרות, שסיגריות הופכות לעשן, שצעירים מזקינים ומתים, ואף פעם התהליכים אינם הפוכים; תכולת ביצה אינה מתאספת, והקליפות אינן מתאחות ושבות מהרצפה אל הצלחת, עשן הסיגריה, ריחה וחומה אינם מתקבצים ובונים מחדש סיגריה לבנה, דקה וארוכה, אנשים לא מגיחים מקבריהם ונעשים צעירים מרגע לרגע.
מבחינת חוקי המכניקה אין מניעה, חוקי התנועה אדישים להבדלים שבין עבר ועתיד, ומכיוון שהאנרגיה תמיד נשמרת במלואה במערכת הכללית, אין שום סיבה שלא יתרחש היפוך מלא של היוצרות.
אם נסריט התנגשות של כדורי ביליארד, ונקרין את ההתרחשות מהסוף להתחלה ומההתחלה לסוף, עקרונית (תוך הזנחת השפעת החיכוך) לא ניתן להבחין מה האירוע המקורי ומה האירוע המהופך, שני אופני הקרנה אלו תואמים את חוקי הפיזיקה, ולכן באותה מידה היה ניתן לצפות שתהליך של התרסקות ביצה יתרחש במהופך, כך שהרסיסים והנוזלים על הקרקע יחברו יחד לביצה שלמה ואחידה על הצלחת.
לפי לודוויג בוֹלצמָן (1844-1906), מה שכופה על המערכת ללכת תמיד בכיוון אחד בלבד, הם חוקי ההסתברות. כלומר, אם נחזור לדוגמה של הבלילה, יש מעט מאד סידורים אפשריים שיחזירו את הבלילה למצבה המקורי, ויש הרבה מדי מצבים אחרים שישאירו אותה במצבה הבלול, המהול והמזוג, ולכן החישוב ההסתברותי מלמד שזה לא יקרה, לא משנה כמה פעמים נסובב את הכף בכיוון ההפוך, הבלילה תהפוך לחלקה ואחידה יותר ובשום אופן לא תיפרד למרכיביה הראשוניים.
באותה דרך, אם ניקח דפים מסודרים של ספר ונטרוף אותם, אין כמעט שום סיכוי שהספר יחזור אי פעם באופן אקראי, במהלך ערבוב בלתי פוסק, לסידור דפיו המקורי, משום שיש רק סידור אפשרי אחד שיחזיר את הספר לכבודו הראשון, ומספר עצום ונורא של סידורים שישאירו אותו בערבוביה.
בולצמן לא הסתפק בכך, הוא החל לשאול את עצמו, איך זה יתכן שעולמנו אינו כזה, מדוע הוא סדור ומאורגן, כלומר, האנרגיה והחומר של היקום אינם מפוזרים בחוסר סדר מלא אלא מרוכזים באזורים מוגדרים יחסית, הרי מבחינה סטטיסטית זה לא סביר לחלוטין.
אם, למשל, אנחנו מסתכלים שעה או שנה קדימה ברור לנו שהעולם בממוצע יהיה מפוזר ולא סדור יותר מאשר עכשיו, כלומר, כוסות ישפכו, ביצים ישברו, צעירים יזדקנו[1], והאנרגיה הכללית של היקום תמשיך להשתחרר לכל עבר. ואם כך, שואל בולצמן, מדוע לפני שעה או שנה מעכשיו אנחנו מניחים בביטחון שהסדר היה גבוה יותר, הרי כאמור סדר גבוה הוא בלתי נסבל מבחינה סטטיסטית. לכן בולצמן מסיק שמבחינה סטטיסטית יותר סביר שהעולם נברא לפני כמה רגעים כמו שהוא עם כל הזיכרונות והמאובנים וספרי ההיסטוריה…
זאת אומרת, בולצמן מבקש לטעון שהעולם הגיח באיזשהו רגע ממוזל מאד מאד, אך כדי למתן את הדרמה הוא משתדל לדחוק את הרגע הזה ככל שניתן קדימה בזמן, כדי להפחית את מידת הסדר אליה הגיח היקום, שהרי כל רגע קדימה בזמן מכיל פחות סדר, וכך ניתן לרכך מעט את ההלם שיאחז בנו למראה הסדר המופתי בו שרוי היקום.
אלא שמנקודת מבטו של בולצמן, אין ערך לחישובים שהוא ביצע לפני דקה, שהרי לפני דקה, בולצמן גופא טרם הגיח לעולם. ובכלל, מאז ימי בולצמן חלפו מספיק שנים, ולכן כיום ניתן להגיד על פי דבריו עצמם, שבולצמן עצמו מעולם לא היה קיים, שהרי אין זה סביר שהעולם בימי בולצמן לפני הרבה שנים היה מסודר יותר, ולכן בהכרח שהעולם ממש עכשיו בשעה שאני מקליד את השורות האלו, בעצם יותר נכון עכשיו בשעה שאני מקליד את המשפט הזה, או יותר נכון בשעה שאתם, חמשת קוראי הנאמנים, קוראים את השורות האלו. או מאוחר יותר כשהנינים יגבשו קונספציה שתתנפץ לאחר מכן אי אז…
אם החישובים של בולצמן הגיחו לפני כמה רגעים על ספרי הפיזיקה, הם לא שווים יותר מכל יתר ספרי קורות הדורות, שכולם לפי בולצמן כוזבים. לפי בולצמן עצמו, בולצמן בהכרח בכלל לא היה, הוא רק כתמי דיו שמשורבטים על ספרי דברי הימים, ואין שום סיבה להניח שדווקא החישובים של אותם כתמי דיו שמובילים למסקנה שהאיש שעומד מאחוריהם כלל לא קיים, הם אמינים יותר. וכמובן גם כל הטיעון הארוך והמייגע שכתבתי הרגע, גם הוא חסר ערך כי הוא עוד מעט קט יהפוך לחלק מההיסטוריה, שבולצמן טוען שלא היתה ולא נבראה.
מה עושים? איך יתכן שהעולם היה פעם מסודר יותר? – זה בלתי יאמן, ממש כמו תרחיש שבו חלקי ביצה מתאחים וחוזרים לצלחת, או שתרנגולים הופכים לצעירים, ולאחר מכן לאפרוחים, ולאחר מכן שבים לביצתם ומשם לקן, ומשם לרחם הורתם.
אם כן, ההסבר השפוי היחיד שנותר, הוא, שמשום מה היו לעולם תנאי התחלה מיוחדים וחריגים באופן קיצוני, שבכל זאת אפשרו את חוסר הסבירות הסטטיסטי הבלתי נסלח הזה. הפיזיקאים עדיין מנסים בכל כוחם להסביר מה גרם לאותם תנאי התחלה חריגים כל כך[2]…
דבר אחד ברור, לא משנה איזה דג הם יעלו בחכתם, השאלה במקרה הטוב ולכל היותר תוסט לנקודה אחרת, אם הם ישלפו שפן נשאל אותם מדוע דווקא שפן, אם הם בתגובה יציגו משוואה, נשאל אותם למה דווקא המשוואה הזאת, אם הם יאלתרו תירוץ, נברר איתם מדוע לא תירוץ אחר, אם הם יגמגמו ננסה להבין למה לא גם וגם, אם הם ישרבטו משהו, נבקש לדעת מדוע, אם הם ילחשו שאי אפשר, נדרוש לראות כיצד, אם הם יסרבו, אנחנו לא נוותר.
נ.ב. הנ"ל אינו מדריך איך להציק למדענים באמצע העבודה, אלא נועד להדגיש שאי אפשר, שלא ניתן, שבלתי שייך במסגרת הפיזיקה לתת תשובות כוללות, ממצות שמסבירות גם את עצמן, תשובות אלו מצויות בהכרח במטאפיזיקה – במה שמעבר לפיזיקה. תודה.
האם ניתן להפליל אדם על סמך סטטיסטיקה?
פסק הדין שהובא לעיל בו הופללה אם בשל מוות כפול של שני עולליה, היה קל מדי להפרכה, אך השאלה היא כללית יותר – האם ניתן להפליל אדם באמצעים סטטיסטיים, כאשר הסטטיסטיקה באמת מאשרת את מעורבותו בפשע, והאם ניתן בכלל לקבוע קביעות משפטיות, לאו דווקא בנוגע לדין הפלילי, על סמך שיקולים סטטיסטיים.
למשל, בהסתמך על נתוני העבר, הסיכוי של נשיא בארה"ב שלא להיבחר לכהונה נוספת נמוך מאד. האם דונאלד המכונה טראמפ, יכול להשתמש בעובדה זו כדי להוכיח שהבחירות בארה"ב זויפו?
נניח, למשל, שיבואו חברי הבגצוקרטיה ויגידו שמכיוון שמיום קום העולם לא נראתה כזאת ממשלת ימין על מלא מלא אבל מלא, הסטטיסטיקה מחייבת את המסקנה שהבחירות הוטו במכוון. במיוחד לאור העובדה, שעד המדינה הביביסט חזה מראש את נתוני הבחירות, ואילו יתר הסוקרים המקצועיים והבלתי מוטים כשלו, ברור לכן שמדובר בקנוניה תפורה גרוע בחוטים גסים…
ובכן, כמובן גם במקרים אלו צריך לבדוק את הסיכוי לקנוניה שגם הוא לא גבוה בכלל, והוא מקזז במידה כזאת או אחרת את הסבירות הנמוכה של ההתרחשות השגרתית והבלתי קונספירטיבית, אך מעבר לזה הכשל הוא בהנחה שמה שהיה הוא שיהיה, כלומר, אין מקום להשוות בין מקרי עבר שהתרחשו בתנאים אחרים ובעולם שונה לבין זמננו אנו או לכל זמן אחר עם מאפייניו היחודיים. מעבר לזה, כמו שראינו קודם כאשר אנו מכירים מקרוב את התהליכים אין טעם להזדקק לחוקי ההסתברות שכוחם יפה רק עבור מי שאינו מכיר את התהליכים, ידיעת התהליכים שומטת בדרך כלל את הערך של ההליך הסטטיסטי.
אם כן, עד עכשיו עסקנו בטיפול בבעיות צדדיות שמחמתן אין באמת שיקול סטטיסטי שמוביל להכרעה, אך השאלה היא מה יקרה כאשר כן יבשילו התנאים ויאפשרו הכרעה הגונה באמצעים סטטיסטיים – האם יהיה ניתן להסתמך עליהם מבחינה משפטית? – בחלק מהמקרים אפשר שהתשובה תהיה חיובית[3]. אך ההבדל המכריע הוא שבשום אופן לא מדובר על הרשעת אדם ובירור מה הוא עשה לאשמתו על סמך ראיות סטטיסטיות.
כלומר, כאשר עומדת על הפרק שאלת המעורבות של אדם בפשע, אין זה טריוויאלי כלל ועיקר להסתמך על תורת ההסתברות.
נניח שתינוק נולד למשפחת פשע מבוססת היטב ושקועה עד צוואר בסדר יומה העברייני, ונניח שהמחקרים היו מלמדים שהסיכוי של הרך הנולד שלא להפוך לרוצח מקצועי הוא נמוך מאחד למיליארד, האם היה עלינו להכניס אותו לכלא מיידית או לאחר מספר שנים שבהם יתממשו בסבירות גבוהה הכישורים המאפיוזים המולדים שלו?
סביר להניח שהתגובה של כולנו לשאלה זו תהיה שלילה גורפת. מדוע ולמה?
והנה שאלה דומה אך הרבה יותר קרובה למציאות, נניח שעבריין בעל רצף הרשעות עבר רבות מספור עומד לדין על שוד. במקביל, מועמד לדין באותה אשמה אדם אחר בעל עבר צח כשלג, משום שגם הפושע המועד וגם האיש התם נצפו כאחד בזירת הפשע, והם ורק הם יכלו לבצע את הפשע. על השופט להכריע מי משניהם אשם במעשה. האם השופט יכול להרשיע על סמך הסתברות? התשובה במקרה זה פחות חד משמעית, אבל נראה שיהיה קשה לנו לקבל את ההרשעה.
ובחזרה למקרה של מות שני התינוקות בעריסה, נניח שאכן היו נעשות כל הבדיקות הנכונות והיה מתברר ככלות הכל שקיימת הסתברות גבוהה לאין ערוך שמדובר ברצח ולא בטרגדיה. האם ניתן להרשיע את האם רק על סמך שיקולים סטטיסטיים? – אם התשובה היא לא, עלינו להסביר מדוע לא.
מעניין לציין שבמערכות המשפט בעולם אכן קיימת הבחנה בין הפללה על סמך סטטיסטיקה לבין הפללה על סמך עדות, גם כאשר הסיכויים לטעות זהים לגמרי. כלומר, קיים סיכוי זניח שהעדים משקרים או טועים, כפי שקיים סיכוי זהה שהמסקנה ההסתברותית לא התממשה. העוסקים בתחום מתקשים מאד להציע הסבר מניח את הדעת לפער שבין שיטות ההכרעה.
מגבלותיה של הסטטיסטיקה
נראה לכן שההסבר הוא כזה, ממה נפשך, אם אנו מניחים, למשל, שמעשיו של בן משפחת הפשע הנ"ל הם תוצאה הכרחית דטרמיניסטית ולכן ורק לכן הם מתוארים על ידי המחקר הסטטיסטי, אין כל מקום להעניש אותו משום שהוא קרבן של משפחת הפשע בה נולד, בדיוק כמו האומללים שהוא, כנראה, חנק במו ידיו. ואם בכל זאת אנו מאמינים ומכירים בחופש הרצון של האדם, אזי בהכרח שהסטטיסטיקה לא תתאר אותו במדויק, משום שרצון חופשי בהגדרה אינו ניתן לתחזית מדויקת, שאם לא כן הוא אינו חופשי. נכון הדבר, שבדרך כלל הסטטיסטיקה תקלע למטרה, משום שהיא למעשה מתארת את מידת הקושי של אותו ילד לבחור אחרת, אך בכל זאת היא לא מהווה כלי מדויק מספיק שעל פיו ניתן לחרוץ דינו של אדם, משום שהרצון החופשי שלו עשוי לגבור על כל חישוב סטטיסטי.
נראה שכך ניתן להסביר את חוסר הנכונות האינטואיטיבי להכיר בסטטיסטיקה ככלי לבירור האמת המשפטית והפלילית, משום שכאשר מבקשים להכיל מודל סטטיסטי על בני אדם, מתברר שבני האדם לא תואמים את המודל, משהו ברוחם אינו נתון לחיזוי, דבר מה בנפשם אינו כבול לתבנית.
זאת אומרת, הרתיעה מלדון אדם על סמך ענף מתמטי קביל וחוקי, מלמדת את מה שכולם יודעים ממילא אך לא תמיד מודים בו – התנהגות האדם אינה ניתנת לתיאור ממצה בכלים מתמטיים[4]. אם זה היה אחרת הפסיכולוגיה הייתה עשויה להפוך עם הזמן והניסיון למדע מדויק, אך זה לא יקרה משום שהאדם – אותו היא מנסה לאבחן ולנתח – איננו מדויק.
כמה זמן?
יש חישוב סטטיסטי שמלמד שהעולם החל להתקיים לפני הרבה זמן וימשיך להתקיים עוד הרבה זמן, שאם לא כן לא סביר להניח שיצא לנו להכיר אותו בדיוק במעט זמן שהוא קיים. באופן דומה, אם אנו נתקלים בבן אדם אלמוני, לא סביר שנפגשנו אתו בדיוק ברגעיו הראשונים או האחרונים, אלא קרוב יותר לממוצע תוחלת חייו.
החישוב הזה הוא כמובן בזבוז זמן משום שאין לו מקום ככל שיש לנו ידע מוקדם על מצב העולם. באותו אופן, אם אנחנו פוגשים את סבתא של סבתא בגיל 119, גונחת, נאנחת ומתחננת לתה עם לימון, לא כדאי לנו להוכיח לה באמצעות חישובים הסתברותיים שהיא לגמרי בריאה וצעירה בממוצע שהרי שוררת הסתברות נמוכה להנחה שאנו רואים אותה בדיוק בימיה האחרונים. מוטב להתמקד בידע שיש בידנו על מצב בריאותה וגילה המתקדם ולא לשגות בחישובים מיותרים.
מצד שלישי, אם קיום העולם כלל אינו סביר, אז עדיף משיקולים הסתברותיים דווקא להניח שהוא התקיים ויתקיים כמה שפחות זמן, אם נתקל במגדל קלפים שמרחף באוויר ומתנשא לגובה של 999 קומות, האם נניח שהוא קיים כך הרבה שנים, או שנעדיף להניח שהוא יתמוטט בעוד רגע וגם שהוא הוקם לפני קצר מאד? וכמובן, כפי שראינו לעיל בולצמן הגיע משיקולים הסתברותיים למסקנה הפוכה, שהעולם כלל לא היה קיים לפני כמה רגעים…
הסבר נוסף: ידע לעומת הסתברות
כעת ניתן להציע הסבר נוסף להבדל בין עדות שאינה אמינה במאה אחוז, לבין שיקול סטטיסטי, שכן כמו שראינו קודם, כאשר קיים בידינו ידע אין מקום להסתמך על סטטיסטיקה.
למעשה, כל פעולה שאנחנו מבצעים היא חריגה מאד מבחינה סטטיסטית, שהרי מה הסיכוי שבדיוק ביום ראשון בשעה שלוש, יתיישב שמעון רוזנשטיין, דווקא, ויכתוב מכתב התפטרות מליצי וגדוש בהאשמות מרומזות ויגנוז אותו במגירה? – כלומר, כל רצף של אירועים ונסיבות הוא ייחודי וחד פעמי, ובכל זאת ככל שאנחנו יודעים על קיומו אנחנו לא מוטרדים מחריגותו הסטטיסטית.
ניתן לומר לכן שכאשר קיימת עדות אנו לא מודדים אותה בכלים הסתברותיים, משום שלפנינו עומד אדם שטוען שהוא מחזיק בידע ולטענתו הכלים הסטטיסטיים שבידינו אינם מעניינים.
מכאן ניתן להסיק שמאותה סיבה איננו מוציאים ממון או מפלילים אדם מחמת שיקול סטטיסטי, משום שהנתבע או הנאשם טוען מנגד שעל פי הידע שיש לו הוא פטור או זכאי למרות המצב ההסתברותי. איננו יכולים לכפות עליו שיקולים הסתברותיים שאנו נזקקים להם בשל חוסר הידע שלנו[5], שכן הוא טוען בצדק שמנוקדת מבטו השיקולים שלנו ריקים מתוכן. להסבר זה יש השלכות חשובות לגבי שאלות אחרות כפי שנראה במאמר הבא ובהערה זו[6].
ללגימה מ"מרד המכונות" – ספרו של יהוידע הכהן לחץ כאן. למידע נוסף אודות הספר לחץ כאן. לאתר הספר לחץ כאן.
הערות:
[1] וכמובן כל שיפור ברמות הסדר על ידי מאמצים אנושיים, למשל, יהיה כרוך בעליית אי הסדר – האנטרופיה – ברמה הכללית של המערכת, משום שהוא יצריך בזבוז אנרגיה והפיכתה לחום שמשמעו עלייה בחוסר הסדר.
[2] ראו על כל הנ"ל תיאור מפורט ופופולרי מאת בראיין גרין – מארג היקום.
[3] על פי ההלכה ניתן להכריע על פי רוב במצבים מסוימים, כמו שנפרט מיד, ומכל מקום ההכרעה על פי רוב היא שיקול הלכתי שדומה במידה מסוימת לקביעת דין על פי חזקה, ולא לשיקול סטטיסטי מדעי [ראה להלן]. אך יחד עם זאת סביר להניח שיש קשר מסוים בין הדברים.
להלן פירוט מהיר ומינימלי של העקרונות הבסיסיים: ספקות של איסור והיתר מוכרעים על פי רוב, אך אין מוציאים ממון על פי רוב (ב"ק מו:). ולעומת זאת נראה בסנהדרין (סט.) שבדיני נפשות כן הולכים אחר רוב, והראשונים והאחרונים הרבו לדון בשאלה זו. לדעת שב שמעתתא (ש"ד פ"ח), לעולם אין הולכים אחרי רוב הן בדיני ממונות והן בדיני בנפשות, ומה שאמרו בסנהדרין שניתן לסמוך על רוב בדיני נפשות נוגע רק למקרים שבהם הדין הוחזק על פי רוב ורק לאחר מכן נוצרה ממנו השפעה לדיני נפשות, או במקרים חריגים אחרים. וכן דעת אבי עזרי (איסו"ב פט"ו הכ"ז) בשיטת הרמב"ם, שלא ניתן להכריע בדיני נפשות על פי רוב, ועל כן ביאר את הגמרא בסנהדרין בדרך כזו שאין ממנה סתירה לדעת הרמב"ם. וכן המאירי (ב"ב צג.) נקט שלא הולכים בנפשות אחרי רוב, אלא בצירוף חזקה או לעניין שאלות שנוגעות לקביעת האיסור מלכתחילה, ובהתאם לכך ביאר את האמור בסנהדרין. והרשב"א (שו"ת ח"ג סי' שעח) הסתפק בדבר, ולבסוף נטה לכך שהולכים בדיני נפשות אחר רוב. ואילו לדעת שערי יושר (ש"ג פ"ג), בדעת תוס' (סנהדרין ג:), ניתן ללכת על פי רוב בדיני נפשות וגם בדיני ממונות אך רק כאשר הרוב אינו נוגע להתנהגות אנושית בלתי הכרחית שעשויה להשתנות אלא לטבע כללי. חילוק זה נשען על דברי הרמב"ן (קידושין נ:) שהובאו בהערת שוליים לקמן ומתאים למסקנתנו שתובא בהמשך. בנוסף מחלק, שערי יושר, בין הכרעת רוב שנוגעת לשאלות כלליות של כשרות העדים ומצב העניינים, שניתן להסתמך עליה לבין הכרעת רוב לגבי שאלת ביצוע העבירה או זהות הנאשם. גם חילוק זה מתאים כנראה למסקנתנו להלן.
ומכל מקום, אין הליכה אחר רוב זהה לגמרי לשיקול סטטיסטי, כמו שניתן להסיק מ"כל קבוע כמחצה על מחצה דמי", וכן מכך שניתן כפה"נ לשייך בשר שנמצא לרוב חנויות, גם עבור כמות גדולה של בשר שפרשה מכמה חנויות שונות. ועוד שבפשטות אין הדבר נקבע לפי מספר הקונים והבשר בכל חנות וחנות. אך אין זה מוסכם (עיין פת"ש יו"ד סי' קי ס"ב). וראיה מסנהדרין (סט.) שהולכים אחרי רוב יולדות לתשעה לקבוע את ההגדרה של הגיל שראוי להיות "אב", אע"פ שלכאורה אין זה ספק שטעון ברור אלא שאלה של הגדרה. ואמנם פירוש הגמרא שם אינו מוסכם. והר"ן כתב, שרוב דאיתא קמן מכריע מטעם ביטול ברוב.
[4] יתכן שזו כוונת הרמב"ן (קידושין נ:) שכתב: ורבינו חננאל ורבינו יצחק ז"ל שניהם גורסים לא צריכא דמיעוטא מקדשי והדר מסבלי ורובא מסבלי והדר מקדשי מהו דתימא לא ניחוש למיעוטא קמ"ל, וטעמא דמלתא משום דהאי רוב לאו רוב גמור הוא, שאינו חיוב, ואם רצו אין נוהגין כן, ואינו דומה למה שאמרו רוב נשים מתעברות ויולדות ומיעוט מפילות שהוא רוב של חיוב וטבע, אבל רוב מנהג פעמים שאדם נוהג כמנהג המיעוט, והואיל והיא איסורא דאשת איש חששו למיעוט זה.
ויש לציין שבשערי יושר (ש"ג פ"ג) פירש את דברי תוס' (סנהדרין ג:) על סמך דברי רמב"ן אלו, שניתן להכריע על פי רוב בדיני נפשות וגם בדיני ממונות אך רק כאשר הרוב אינו נוגע להתנהגות אנושית בלתי הכרחית שעשויה להשתנות אלא לטבע כללי. ודבריו נראים תואמים למסקנתנו. ראה עוד על כך בהערה לעיל.
[5] מכאן ניתן להסיק שהכלל הזה שאין להסתמך על סטטיסטיקה כדי לחייב או להרשיע יהיה תקף רק כאשר הנידון או הנתבע טוען לחפותו או מתכחש למחויבותו בממון, שכן רק אז הוא טוען שהוא מחזיק בידע שעבורנו אינו קיים, ומחמתו אין מקום לחייב אותו בדין על בסיס הסתברותי שנשען על בורות. ויש לציין, שיש מחלוקת ראשונים, האם הדין שלא מוציאים ממון על ידי רוב, נאמר דווקא כאשר הנתבע טוען שהוא פטור בוודאי או לאו. מדברי רשב"ם בכמה מקומות (צב. ד"ה לשחיטה, צב: ד"ה לא אזלינן, צג. ד"ה ונמצא) נראה, שאין מוציאים ממון רק כאשר הנתבע המוחזק מכחיש וטוען שהרוב לא התממש. וכן מפורש בדברי תוספות ר"י הלבן (כתובות טו:). ואילו מדברי תוס' (צב. ד"ה וליחזי) מוכח להיפך, שהמחלוקת בין רב ושמואל, האם מוציאים ממון על סמך רוב, אמורה דווקא כשהנתבע טוען שמא, ולהלכה לא מוציאים ממון אף כאשר הנתבע טוען שמא, אך גם רב מודה שאין מוציאים ממון, כשהנתבע טוען ברי שהוא מהמיעוט. ואף שבכך מוכח להיפך מרשב"ם ותוספות ר"י הלבן [שניתן להוציא ממון עפ"י רוב כשהנתבע טוען שמא], מכל מקום אפשר לראות שגם תוס' אחזו בעיקרון שכאשר יש ידיעה אין מקום לשיקולי רוב, שהרי חילקו כן בדעת רב. ומכל מקום סברו, שלדעת שמואל, טענת הנתבע אינה נחשבת כידיעה מספקת.
לעומת זאת, כאשר יש גם רוב יחד עם חזקה, כמו "גמל האוחר בין הגמלים ונמצא גמל הרוג בצדו", כפי שמתבאר בב"ב (צג.) ניתן לחייב אף נגד הכחשה של הנתבע, וכן בב"ב (ה.) לגבי "חזקה אין אדם פורע בתוך זמנו", וכמו שנראה מהמאירי (ב"ב צג. ). והטעם שצירוף הרוב והחזקה נחשב לידיעה ממש, וכעין שאמרו "סוקלין על החזקות".
[6] יתכן שניתן ליישב בכך את קושיית הראשונים, איך יתכן שאין מוציאים ממון על סמך רוב (ב"ק מו:), ובדיני נפשות הולכים אחרי רוב, כפי שנראה בסנהדרין (סט.). שכן כל המקרים האמורים בסנהדרין שבהם רוב מכריע בדיני נפשות, נאמרו באופן שהנאשם אינו יכול כלל לרדת לחקר האמת בשאלה שעליה אנו מכריעים על פי רוב, ואילו דין זה שאין הולכים בממון אחר רוב, לא נאמר [לדעת חלק מהראשונים, ראה הערה לעיל] אלא כאשר הנתבע כופר בתביעה, ולכן אין סתירה בין שני דינים אלו.